Duizend ijs, bitte!

Als je een dreumes, een kleuter en een zesjarige in huis hebt, hoor je regelmatig nieuwe woorden, zinnen en taalgrapjes langskomen.

Judith begint eindelijk wat meer te zeggen dan alleen “papa” en “mama”. Niet dat ze stilletjes door het huis scharrelt, maar wat er tot nu toe uit haar mond kwam is vooral “o-oh”, “die!”, “oooh!”, “bah” et cetera. Strikt genomen zijn dat misschien ook woordjes, maar een zinnig gesprek voer je er niet direct mee. De laatste week horen we langzamerhand wat meer variatie voorbijkomen: “k(l)aar”, “poep” (praktisch!), “paa(rd)” voor alle dieren op vier poten die hun kop in de lucht steken, “aap” voor beesten die buiten de “paa”-categorie vallen maar toch wel enigszins gelijkenis vertonen, “(v)is”, “kuke” voor kuikentjes etc… En niet te vergeten: “koek” en “ijs!”. Dat laatste is zeer belangrijk om je wensen tot uiting te brengen, want mama ruimt koekjes hoog op en de deur van de vriezer kan mevrouwtje ook niet zelf openmaken. Verder vindt ze dieren, zowel in levende lijve als in boekjes, uitermate interessant. Dat zie je dus meteen terug in de woordjes die ze kent. “Eekhoorn” zou ze nog graag willen leren, maar (1) dat is een vrij lastig woord, en (2) ze heeft altijd veel haast als ze een eekhoorn ziet en dat aan ons wil vertellen. Dus dat doet ze tot nu toe door enthousiast te springen, te wijzen en “die! ooh! die!” te roepen. Het is ook een erg leuk gezicht als er eekhoorntjes door de bomen in de tuin roetsjen. Soms knabbelen ze van een soort dennenappeltjes die vlak bij ons terras groeien, of ze spelen tikkertje in de grotere bomen. We hebben ze inmiddels minstens 15 keer gezien, maar Juud kan er nog steeds niet over uit.

Boaz is op het moment veel bezig met getallen. En dan vooral met een heel stoer getal: duizend! Alles wat boven de vijf of tien komt, is “duizend”. Hij heeft natuurlijk geen flauw benul hoeveel dat eigenlijk is, maar het staat synoniem voor veel en groot. Mama is bijvoorbeeld wel duizend zwaar, papa is duizend lang, onze auto kan duizend hard, enzovoorts. Van de week kwam hij tot de ontdekking dat papa ook wel duizend geld heeft, en dat opende heel wat perspectieven! Wat kan je daar al niet voor kopen zeg! Ik geloof dat ‘ie z’n verlanglijstje meteen gaat herzien 🙂

Hannah houdt erg van taalgrapjes. Rijmwoorden, samengestelde woorden, woorden die twee betekenissen hebben… een wereld aan ontdekkingen. De laatste weken is ze natuurlijk meer bezig met Duits, en hoewel ze het nog wel lastig vindt om op school alles in het Duits te moeten zeggen, krijgen wij al regelmatig bijles van haar. Dan zeg ik nietsvermoedend “alsjeblieft Hansje!” en krijg ik terug: “We zijn nu in Duitsland mama, dan zeg je ‘bitte’!”. Oh, I’m sorry… Het is ook erg leuk om te zien hoe ze de logica van talen ziet. We hadden pas een watermeloen gekocht, en toen kwam ze zelf op het idee dat dat vast een “wasser-meloen” heet, omdat ze op school een les had gehad over slootwater, rioleringen et cetera. Ook Duitse liedjes worden thuis ten gehore gebracht, en dan moeten wij raden wat het betekent. Dat is nog niet altijd triviaal, omdat ze het vaak nazingt zonder de woorden precies te kennen, maar meestal komen we een heel eind. En als we er echt niet uitkomen, met huiswerk maken bijvoorbeeld, dan pakken we samen het woordenboek erbij. Zo leert mama tenminste ook nog wat, want díe gaat hier niet naar school…

Lange giraffe en gele tijger

Vandaag was de dag van lange giraffe en gele tijger. Voor wie ze nog niet kent: dat zijn een stoere bergbeklimmende meid van zes en een even stoere bergbeklimmende jongen van vier. Samen met hun vader gingen ze al vroeg op pad vanmorgen: eerst met de trein naar Münstertal en toen te voet verder naar de top van de Belchen. Zie ze daar eens trots op de foto staan! Dat was ook wel terecht, na 4 uur klimmen en klauteren. Omdat lange giraffe en gele tijger een beren-honger hadden gekregen van al dat geklim, kregen ze van hun vader een bord patat in het eethuis boven op de berg. En het leukste van alles: ze mochten met de stoeltjeslift weer naar beneden. Daar werden ze gelukkig met de auto opgehaald, want de stoeltjeslift komt niet bij een treinstation en om nou nóg weer een paar uur te lopen, dat was een beetje teveel van het goede.

Voor kleine zus was het hele avontuur wat minder geslaagd; die werd kotsmisselijk van alle haarspeldbochten en spuugde zichzelf helemaal onder toen we tijger en giraffe gingen ophalen 🙁 We hopen van harte dat dat eenmalig was en dat ze geen wagenziekte ontwikkelt! We hoeven natuurlijk niet wekelijks de berg op, maar hopen toch wel regelmatig een keer naar Nederland te rijden – dat is dan wel een stuk minder bochtig, maar toch een heel eind… We zullen het binnenkort mogen ervaren, want we hopen het Pinksterweekend in Nederland door te brengen. Helaas heeft Johan geen vakantie, dus het wordt een flitsbezoekje.

Om de dag leuk af te sluiten voor onze giraffe en tijger hebben we gebarbecued. Op ons eigen terrasje, want de vuurplaats op de Krozinger berg was al bezet. En we waren vlot klaar, want de beren-honger was na anderhalf worstje helemaal over. Juud hield het na twee hapjes ook voor gezien, dus hebben we de boel maar opgeruimd en het geboefte naar bed gebracht 🙂 Al met al, een dag vol avonturen!

Wiskundig fruit

De eerste maand werken in Freiburg heeft zijn vruchten afgeworpen. Zowel op het gebied van onderwijs als onderzoek. Ik zal eerst wat vertellen over het onderwijs, en ten slotte iets over mijn onderzoek.

Ik begeleid nu twee vakken. Voor het vak algebraïsche getaltheorie moet ik huiswerkbladen maken, en andere kleine klusjes voor de docent opknappen. Het nakijkwerk wordt door een andere assistent gedaan. Een interessant vak, maar mijn taak is niet bijzonder spannend. Het andere vak is een zogeheten Proseminar. Daarbij moeten studenten (meestal in hun tweede jaar) een voordracht houden. In ons Proseminar is gekozen voor “kwadratische vormen over Q” als onderwerp. Die keuze is vrij ambitieus, maar volgens mij zijn de studenten wel enthousiast. Het is mijn taak om de studenten te helpen bij hun voorbereiding van de voordracht; zodat ze niet onderschatten hoeveel stof ze moeten behandelen in tweemaal 45 minuten. En om de foutjes in hun begrip van de materie weg te werken.

Kwadratische vormen komen overal in de wiskunde voor. Op de meest onverwachte plaatsen steken ze de kop op: getaltheorie, gladde meetkunde, algebra. In ons Proseminar kiezen we voor een getaltheoretische benadering.

Ik zal een paar voorbeelden geven van kwadratische vormen, en het type vragen waar men naar kan kijken. Als $a$ een getal is, dan is $a * a$ het kwadraat van $a$. Dus het kwadraat van 2 is 4, en het kwadraat van 3 is 9. We noteren het kwadraat van $a$ met $a^2$. Merk op dat $a^2 \ge 0$. Ook als $a < 0$, want “min keer min is plus”.

Het meest eenvoudige voorbeeld van een kwadratische vorm is de formule $q = x^2$. Dus we beginnen met een getal $x$; en dat stoppen we in de formule om een getal $q$ te krijgen. Het uiterst belangrijke kenmerk van een kwadratische vorm, is dat als we $x$ tweemaal zo groot maken, dan wordt $q$ wel viermaal zo groot. En als we $x$ driemaal zo groot maken, dan schaalt $q$ met een factor 9. Het zit ‘m ook in de naam van het beestje: kwadratische vormen. Dus als $x$ geschaald wordt met een factor $a$, dan schaalt $q$ met factor $a^2$, het kwadraat van $a$.

In het algemeen is een kwadratische vorm een formule die begint met een lijstje getallen, en daaruit een getal produceert dat dezelfde schalingsregel heeft als het voorbeeld hierboven. Bijvoorbeeld, we starten met het lijstje $(x,y,z)$ en daaruit bouwen we $q = x^2 + yz$. Opnieuw geldt dat het lijstje $(2x,2y,2z)$ gestuurd wordt naar $4q$, en in het algemeen wordt $(a*x, a*y, a*z)$ gestuurd naar $a^2*q$.

Laten we eens een voorbeeldlijstje invullen. We nemen $(1,-1,3)$. Dan krijgen we $q = 1^2 + (-1)*3 = -2$. En als we $(0,5,0)$ nemen, dan krijgen we $q = 0^2 + 5*0 = 0$. Dit laatste voorbeeld is interessant. We begonnen met een lijstje getallen die niet allemaal 0 waren, en toch was de uitkomst 0. We zeggen dat deze kwadratische vorm “nul representeert”.
Dus nogmaals de definitie van nul representeren:

Definitie. Een kwadratische vorm representeert nul als er een lijstje getallen bestaat die niet allemaal nul zijn, zodat de uitkomst van de formule wel nul is.

Bekijken we tenslotte nog een voorbeeld: $q = x^2 + y^2 + 3z^2$. De vraag is nu: representeert deze kwadratische vorm nul? Toen ik even geleden vertelde wat kwadraten zijn merkte ik terloops op dat $a^2 \ge 0$ is. De enige mogelijkheid voor $a^2 = 0$ is als $a = 0$. We zien dus dat $q \ge 0$ omdat we allemaal kwadraten optellen. De enige mogelijkheid voor $q = 0$ is als we beginnen met $(x,y,z) = (0,0,0)$.

In het Proseminar gaat het over “kwadratische vormen over Q”. Die Q is belangrijk. Dat betekent namelijk dat we alleen maar met breuken van gehele getallen mogen werken. Door één plusteken te veranderen in een minteken krijgen we een uitdaging voor de geïnteresseerde lezer:

Puzzel. Laat zien dat $q = x^2 + y^2 – 3z^2$ niet nul representeert met breuken.

(De input $(1,\sqrt{2},1)$ geeft wel 0 als output, maar $\sqrt{2}$ is geen breuk!)
Hints voor de puzzel: Neem aan dat er wel een oplossing is die nul representeert en leid een tegenspraak af. Door de oplossing met een geschikte breuk te vermenigvuldigen kan men aannemen dat $(x,y,z)$ gehele getallen zijn, die niet allemaal deelbaar zijn door 3. Laat zien dat $x^2$ en $y^2$ wel deelbaar moeten zijn door 3. Leid daaruit af dat $x$ en $y$ allebei deelbaar zijn door 3. Hieruit volgt dat $3z^2$ deelbaar is door 9. Dit betekent dat $z$ ook een factor 3 heeft, en dit is in tegenspraak met onze aanname. Conclusie: de oplossing waar we mee begonnen bestaat helemaal niet!

Tenslotte nog iets over mijn onderzoek. Ik heb afgelopen zomer mijn proefschrift verdedigd. Die bestond uit twee delen, en het is de bedoeling dat die twee delen in wetenschappelijke tijdschriften gepubliceerd worden. Afgelopen week kreeg ik bericht dat het eerste deel is geaccepteerd door een tijdschrift. Dat zal dus binnenkort verschijnen.

Het tweede deel heeft langer op zich laten wachten. Dat komt omdat ik me realiseerde dat ik een betere versie van mijn resultaat kon bewijzen. Maar dat kostte wel de nodige hoofdbrekens. Twee weken geleden heb ik dat project eindelijk af kunnen ronden. Het resultaat staat nu op de arXiv server: https://arxiv.org/abs/1804.06840. Dat is een website waar wetenschappers hun afgeronde artikelen kunnen uploaden voordat ze geaccepteerd zijn door een vaktijdschrift. Deze week ga ik dat artikel indienen bij een tijdschrift, en dan zal het door andere wiskundigen worden beoordeeld. Dat proces duurt grofweg een jaar. Nog even geduld dus. (En als er dan nog foutjes ontdekt worden en/of het artikel geweigerd wordt, dan komen daar nog luttele maanden bij.)

In de komende maanden ga ik in ieder geval aan de slag om een ander project af te ronden. Dat heeft al anderhalf jaar in de koelkast gelegen omdat mijn proefschrift en de andere artikelen voorrang kregen. Daarnaast heb ik in de loop van de tijd ook ideeën verzameld voor nieuwe projecten. Dus voorlopig zal ik me niet vervelen!

Foto’s

Hier eindelijk wat foto’s van ons huis. Beloofd is beloofd.

Allereerst onze eethoek in de keuken, waar we eten en Nederlands huiswerk doen. Aan de linkerkant is de keukendeur te zien, daardoor kunnen we naar het terras en de tuin. Verder hebben we gelukkig een keuken met alles wat nodig is om een lekkere maaltijd op tafel te kunnen zetten.

    

Verder hebben we natuurlijk een setje slaapplekken:

1) Logeerbed, 2) Boaz’ bed, 3) Judiths “hoekje”, 4) Hannahs bed, 5) Hannahs werk-/knutselhoek en 6) De slaapkamer van J&G waar Judith ook af en toe logeert en waar zo nodig gewerkt kan worden aan ons bureau.

De woonkamer komt nog een keer; dan moeten we eerst opruimen 😉

Mamamamamamamamaaaandag

Het weekend is weer voorbij, dus Johan is weer naar z’n werk en Hannah zit op school. Judith zegt nog niet zoveel (die heeft weer andere manieren om duidelijk te maken wat ze graag wil), dus ben ik de belangrijkste gesprekspartner voor een jongetje wiens mond vrijwel geen moment stil staat. Ik heb pas geprobeerd om te tellen hoeveel keer per dag hij “mamaaaa!” roept, maar ik raakte de tel al gauw kwijt omdat hij niet alleen roept, maar ook echt een zinnige reactie wil op zijn verhalen en vragen en tegenwerpingen en argumenten en verzoeken. Ik denk serieus dat we de 500 wel halen. Ik word er regelmatig helemaal kierewiet van, ik heb af en toe gewoon even RUST nodig aan m’n oren. Daarom heb ik meneer nu met z’n favoriete bakkie chocolademelk op de bank gezet bij een vertel-cd, en verschuil ik mezelf in de keuken. Het werkt zowaar! 🙂

Het probleem is natuurlijk dat Boaz enorm toe is aan school, en ook dagelijks klaar staat om daarheen te gaan, maar door een personeelstekort kan hij er nog niet terecht. Het is de bedoeling dat hij in juni kan starten, maar we zijn al gewaarschuwd dat het wellicht zelfs september wordt. Dat duurt dus nog ruim vier maanden… Ai ai ai. Dat is een nadeel van het schoolsysteem hier; pas vanaf 6 jaar hebben ze leerplicht, voordien is het allemaal eigen keus en kunnen ze je dus ook gerust weigeren of op een wachtlijst zetten. Maar vrijwel elk kind zit dagelijks in de Kindergarten, dus speelkameraadjes zijn er ook niet. Behalve je mama dus. Zolang ze zich niet verstopt in de keuken.

De langslaper

Sinds afgelopen donderdag ben ik een langslaper. Dit betekent dat Judith nog steeds rond een uur of vijf wakker wordt en een aai over haar bol nodig heeft. En Hannah en Boaz komen ook iedere ochtend rond half zeven vragen of ze nu eindelijk uit bed mogen: ze hebben al zo lang rustig in bed liggen wachten en kunnen echt niet meer slapen. En toch ben ik een langslaper.

Toen we trouwden was ons slaapkamertje zo klein dat ons bed speciaal op maat gemaakt was: de sierlijsten om ons bed waren niet symmetrisch omdat het bed anders niet tussen de kast en de muur paste. Dat probleem is jaren geleden al verholpen, zodra we een iets grotere slaapkamer vonden. Maar een ander probleem bleef: het bed was “slechts” twee meter lang.

Om te begrijpen waarom dit een probleem is moet u een paar feitjes weten: ik ben zo’n 187 centimeters, van kop tot teen. Daarnaast vind ik het heerlijk als het dekbed tot vlak onder mijn oren komt. Grietje huivert van dat idee; zij wil het dekbed juist tot haar schouders. (Dit is in de eerste zeven jaar van ons huwelijk de grootste bron van echtelijke onenigheid geweest…) Het betekend dat zij meestal zo’n 15 centimers hoger in bed ligt dan ik. U raad het al: mijn tenen moesten het onderspit delven.

Bij de verhuizing moest ons bed uit elkaar, en we dachten dat het een mooie gelegenheid was om het weer in elkaar te zetten met langere bedzijden. Natuurlijk was dat wat optimistisch; we hebben hier eerst nog twee weken van de oude bedzijden gebruik gemaakt. Maar afgelopen donderdag is ons bed 20cm langer geworden. Het is een beetje een hack, want we hebben geen langer matras. Op internet vonden we een website waar je stukken matraskussens op maat kunt bestellen, voor bankkussens en dergelijke. Daar hebben we een matrasje van 20cm gekocht, en dat ligt nu aan ons voeteneinde op zijn eigen lattenbodempje (wat ook niet meer is dan een stuk van een oude bedzijde dat met hoekblikjes aan de nieuwe zijden is bevestigd). Het resultaat: ik kan als langslaper genieten van de Duitse nachten.

Laat ik maar eens kijken of Grietje al bijna wakker is. Dan kunnen we gaan ontbijten.

Hieperdepiep hoera voor Boaz!

Jahaa, onze kerel is vier jaar! Hij heeft gisteren een heerlijke dag gehad. En nu nog, want hij heeft allerlei nieuw speelgoed gekregen en Hannah heeft onverwachts een dagje vrij omdat de juf ziek is.

Boaz kwam ’s morgens rond zes uur met een slaperig hoofd bij ons, maar had er niet eens aan gedacht dat ‘ie jarig was 🙂 Dus we hebben het opstaan nog lekker even gerekt door ‘m bij ons in bed te nemen. Pas toen hij de slingers in de gang zag hangen, ging er een lampje branden. En toen moest het feest natuurlijk ook meteen beginnen, met cadeautjes, zingen en een lekker ontbijtje. Meneer werd goed verwend, niet alleen door ons maar ook door familie die al cadeautjes had meegegeven, kaartjes stuurde of opbelde. Toen Hannah naar school was en Johan naar z’n werk, was hij lekker rond aan het scharrelen met z’n cadeautjes en liep hij wat te kliederen bij het fonteintje in de tuin. Ineens hoorde ik enthousiast gegil: ooooopaaaaa! En ja hoor, opa Troost kwam “gewoon even” op verjaardagsvisite.  Dat hadden we zorgvuldig geheim gehouden, dus de verrassing was groot! Even later haalden we Hannah uit school, en ook die was natuurlijk helemaal enthousiast. Geweldig leuk om te zien…

Omdat het heerlijk weer is hier, gingen we ’s middags nog even naar het park. Daar is een speeltuintje met waterpomp en een soort rotstuintje waar je geultjes kunt graven etc. Dat valt goed in de smaak bij ons kroost; Juud ging lekker middenin een modderplas zitten om… laten we zeggen… de natuurelementen optimaal te ervaren. De andere twee vermaakten zich ook prima, en eenmaal thuis konden ze meteen onder de douche. Die raakte nog net niet verstopt door alle zand en modder 😉 Eenmaal fris gedoucht aten we patatjes en daarna hadden we zo’n sterretjes-kaars op het toetje gezet. Het feest was compleet. Wat jammer dat zo’n verjaardag maar één keer per jaar is, en dat Boaz nu weer heeeeeeel lang moet wachten tot hij opnieuw jarig is!

Technisch: hoe volg ik een weblog (RSS)

We hebben de vraag gekregen hoe mensen makkelijk ons weblog kunnen volgen. Dus hier even een bericht van de system administrator. Velen van jullie volgen misschien meerdere weblogs. Vaak staat er dan in de rechterkolom iets van de vorm Berichten RSS. (Op onze weblog staat het bijna onderaan in de rechterkolom, onder het kopje Meta.)

RSS is precies bedoelt voor het volgen van weblogs en dergelijke. Om gebruik te maken van RSS heb je een RSS-lezer nodig. Dit kan een programma zijn dat op de computer geïnstalleerd wordt, of een online service, zoals Feedly. Een online service zoals Feedly biedt vaak ook de mogelijkheid om een mailtje te sturen als er een update op een weblog is.

Door de RSS-feed van onze weblog (zie de link in de vorige alinea, of de rechterkolom) in te voeren in de RSS-lezer wordt u gemakkelijk op de hoogte gehouden van updates op ons weblog. En ook van alle andere weblogs die u wilt volgen.

School – een berichtje van Hannah

Deze week was ik voor het eerst op school. Het is wel moeilijk om de Duitse taal te begrijpen. Maar het lukt best een beetje. Er zijn elf kinderen in mijn klas. En mijn juf heet juf Schneider.

Ik heb al één vriendje gevonden daar. Die heet Jonathan. Ik zat na schooltijd nog heel leuk met hem te spelen in de speeltuin met de waterpomp.

Groetjes van Hannah

Boodschappen

Ik had het al een keer gemeld: we hebben hier een Lidl. Geweldig, dan hoeven we over een hele rij basisdingen niet meer na te denken. Hoewel de details natuurlijk altijd weer anders zijn, zelfs bij een zelfde winkelketen. De karnemelk zit in van die schoolmelkbekertjes, de crème fraîche zit in platte bakjes en heet Speisequark, en ze hebben geen bevroren sperziebonen. Maar goed, daar kunnen we prima mee leven. Het grootste verschil is brood, dat is hier echt niet lekker. Maar voor ons is dat niet erg, want wij bakten het toch al altijd zelf. Heerlijk, elke dag een vers broodje uit eigen bakker. Krentenbollen, die mis ik wel. Misschien ga ik die nog ’s zelf bakken.

Gelukkig hebben ze hier ook gewoon van die winkelkarren met kinderzitjes, en kleine karretjes. Ik weet alleen niet helemaal waar die voor bedoeld zijn, want je ziet amper kinderen in de winkel. Die zullen allemaal wel op de Kindergarten zitten ofzo. Ik vind boodschappen doen altijd een prima uitje overdag, dat ga ik echt niet allemaal ’s avonds of in het weekend doen. Nu nog even oefenen om dat lieve kroost van ons zodanig in het gareel te krijgen dat we zonder schaamte door de paden kunnen manoeuvreren. Maar ach, “de mensen hier kunnen geen Nederlands”, dus ze verstaan het toch niet als ik zeg dat Boaz even om die dikke meneer heen moet, of dat hij voorzichtig moet zijn voor die boze mevrouw daar. (Geintje, je zult net meemaken dat ze het toch snappen). Ik had bijna even gehoopt dat ze de eerste weken in Duitsland als makke schaapjes achter me aan zouden komen omdat alles nieuw en vreemd is, maar dat was een illusie. Ze lopen hier net zo hard weg als altijd.

Behalve de Lidl hebben we nog een Aldi Süd, een Rewe, een Penny en een dorp verder een Edeka. Plus nog een oosterse supermarkt en een bio-winkel, en misschien nog wel meer winkels die ik nog niet heb gezien. Genoeg keus dus; we zullen we rustig aan eens gaan inspecteren. Liefst op de fiets natuurlijk, want ik vind het heerlijk om in het zonnetje rond te peddelen in plaats van altijd de auto te moeten pakken. Tot onze grote vreugde is fietsen hier geen rariteit, je ziet veel volwassenen met mandjes achterop voor hun boodschapjes. Zelfs af en toe een kinderzitje achterop, waar je dan een helmpje bovenuit ziet steken. Of fietskarren, die zie je ook regelmatig. Kindjes voorop heb ik nog niet gezien, behalve ons eigen pluizebolletje. Ach, wellicht brengen we de mensen hier op een idee. Qua fietspaden moeten we nog wel even oefenen. Ze zijn er wel, maar soms houden ze ineens op en moet je ofwel over de stoep ofwel over de rijbaan verder, en ik weet nog niet zo goed wat de beste optie is. Als het me te gek word stap ik maar even af, lopen mag je allicht op de stoep.