Schoolfeest en klautervreugde

Vanochtend was er feest bij Hannah op school, en wel om twee redenen: het schooljaar is bijna afgelopen, en dus mochten de kinderen een presentatie geven van het afgelopen jaar. Daarnaast werd ook gevierd dat de school nu een door de staat erkende privé-school is. Dat betekent dat er dus ook een aanzienlijke subsidie vanuit de staatskas komt.

Hannah heeft in het Duits een verhaal voorgelezen over een mus die door de storm moest vliegen. We waren heel trots dat ze dat voor zo’n grote groep mensen durfde te doen. De schoolkinderen hebben verschillende liederen gezongen, en een afscheidscadeau aan Hannah’s juf gegeven omdat die een jaar met sabbatical gaat.

Vanmiddag ben ik samen met Hannah en Boaz naar een boulderhal in Freiburg gegaan. Boulderen is een vorm van wandklimmen waarbij je niet hoger dan vier meter klimt (meestal maar drie). Je hoeft daarom geen klimgordels, touwen en zekeringen te gebruiken. De uitdaging bestaat vooral in het voltooien van een route van blokjes met dezelfde kleur. Wij hebben het vooral bij de gele en groene routes gehouden, maar we zagen ook profs die rode en zwarte routes klommen (daartussen zitten nog de blauwe en witte routes). Een of twee blokken zijn gemarkeerd als startblokken; die moet je aanraken op het moment dat je lichaam de grond verlaat. Daarna moet je klimmen en klauteren tot je met beide handen het blok vasthoudt dat is gemarkeerd met “Top”. Dat is soms dus een hele uitdaging…

Het was een geslaagd uitje, dat zeker voor herhaling vatbaar is!

Hieronder een paar foto’s van onze klauteraars.

  

  

Wiskundig fruit

De eerste maand werken in Freiburg heeft zijn vruchten afgeworpen. Zowel op het gebied van onderwijs als onderzoek. Ik zal eerst wat vertellen over het onderwijs, en ten slotte iets over mijn onderzoek.

Ik begeleid nu twee vakken. Voor het vak algebraïsche getaltheorie moet ik huiswerkbladen maken, en andere kleine klusjes voor de docent opknappen. Het nakijkwerk wordt door een andere assistent gedaan. Een interessant vak, maar mijn taak is niet bijzonder spannend. Het andere vak is een zogeheten Proseminar. Daarbij moeten studenten (meestal in hun tweede jaar) een voordracht houden. In ons Proseminar is gekozen voor “kwadratische vormen over Q” als onderwerp. Die keuze is vrij ambitieus, maar volgens mij zijn de studenten wel enthousiast. Het is mijn taak om de studenten te helpen bij hun voorbereiding van de voordracht; zodat ze niet onderschatten hoeveel stof ze moeten behandelen in tweemaal 45 minuten. En om de foutjes in hun begrip van de materie weg te werken.

Kwadratische vormen komen overal in de wiskunde voor. Op de meest onverwachte plaatsen steken ze de kop op: getaltheorie, gladde meetkunde, algebra. In ons Proseminar kiezen we voor een getaltheoretische benadering.

Ik zal een paar voorbeelden geven van kwadratische vormen, en het type vragen waar men naar kan kijken. Als $a$ een getal is, dan is $a * a$ het kwadraat van $a$. Dus het kwadraat van 2 is 4, en het kwadraat van 3 is 9. We noteren het kwadraat van $a$ met $a^2$. Merk op dat $a^2 \ge 0$. Ook als $a < 0$, want “min keer min is plus”.

Het meest eenvoudige voorbeeld van een kwadratische vorm is de formule $q = x^2$. Dus we beginnen met een getal $x$; en dat stoppen we in de formule om een getal $q$ te krijgen. Het uiterst belangrijke kenmerk van een kwadratische vorm, is dat als we $x$ tweemaal zo groot maken, dan wordt $q$ wel viermaal zo groot. En als we $x$ driemaal zo groot maken, dan schaalt $q$ met een factor 9. Het zit ‘m ook in de naam van het beestje: kwadratische vormen. Dus als $x$ geschaald wordt met een factor $a$, dan schaalt $q$ met factor $a^2$, het kwadraat van $a$.

In het algemeen is een kwadratische vorm een formule die begint met een lijstje getallen, en daaruit een getal produceert dat dezelfde schalingsregel heeft als het voorbeeld hierboven. Bijvoorbeeld, we starten met het lijstje $(x,y,z)$ en daaruit bouwen we $q = x^2 + yz$. Opnieuw geldt dat het lijstje $(2x,2y,2z)$ gestuurd wordt naar $4q$, en in het algemeen wordt $(a*x, a*y, a*z)$ gestuurd naar $a^2*q$.

Laten we eens een voorbeeldlijstje invullen. We nemen $(1,-1,3)$. Dan krijgen we $q = 1^2 + (-1)*3 = -2$. En als we $(0,5,0)$ nemen, dan krijgen we $q = 0^2 + 5*0 = 0$. Dit laatste voorbeeld is interessant. We begonnen met een lijstje getallen die niet allemaal 0 waren, en toch was de uitkomst 0. We zeggen dat deze kwadratische vorm “nul representeert”.
Dus nogmaals de definitie van nul representeren:

Definitie. Een kwadratische vorm representeert nul als er een lijstje getallen bestaat die niet allemaal nul zijn, zodat de uitkomst van de formule wel nul is.

Bekijken we tenslotte nog een voorbeeld: $q = x^2 + y^2 + 3z^2$. De vraag is nu: representeert deze kwadratische vorm nul? Toen ik even geleden vertelde wat kwadraten zijn merkte ik terloops op dat $a^2 \ge 0$ is. De enige mogelijkheid voor $a^2 = 0$ is als $a = 0$. We zien dus dat $q \ge 0$ omdat we allemaal kwadraten optellen. De enige mogelijkheid voor $q = 0$ is als we beginnen met $(x,y,z) = (0,0,0)$.

In het Proseminar gaat het over “kwadratische vormen over Q”. Die Q is belangrijk. Dat betekent namelijk dat we alleen maar met breuken van gehele getallen mogen werken. Door één plusteken te veranderen in een minteken krijgen we een uitdaging voor de geïnteresseerde lezer:

Puzzel. Laat zien dat $q = x^2 + y^2 – 3z^2$ niet nul representeert met breuken.

(De input $(1,\sqrt{2},1)$ geeft wel 0 als output, maar $\sqrt{2}$ is geen breuk!)
Hints voor de puzzel: Neem aan dat er wel een oplossing is die nul representeert en leid een tegenspraak af. Door de oplossing met een geschikte breuk te vermenigvuldigen kan men aannemen dat $(x,y,z)$ gehele getallen zijn, die niet allemaal deelbaar zijn door 3. Laat zien dat $x^2$ en $y^2$ wel deelbaar moeten zijn door 3. Leid daaruit af dat $x$ en $y$ allebei deelbaar zijn door 3. Hieruit volgt dat $3z^2$ deelbaar is door 9. Dit betekent dat $z$ ook een factor 3 heeft, en dit is in tegenspraak met onze aanname. Conclusie: de oplossing waar we mee begonnen bestaat helemaal niet!

Tenslotte nog iets over mijn onderzoek. Ik heb afgelopen zomer mijn proefschrift verdedigd. Die bestond uit twee delen, en het is de bedoeling dat die twee delen in wetenschappelijke tijdschriften gepubliceerd worden. Afgelopen week kreeg ik bericht dat het eerste deel is geaccepteerd door een tijdschrift. Dat zal dus binnenkort verschijnen.

Het tweede deel heeft langer op zich laten wachten. Dat komt omdat ik me realiseerde dat ik een betere versie van mijn resultaat kon bewijzen. Maar dat kostte wel de nodige hoofdbrekens. Twee weken geleden heb ik dat project eindelijk af kunnen ronden. Het resultaat staat nu op de arXiv server: https://arxiv.org/abs/1804.06840. Dat is een website waar wetenschappers hun afgeronde artikelen kunnen uploaden voordat ze geaccepteerd zijn door een vaktijdschrift. Deze week ga ik dat artikel indienen bij een tijdschrift, en dan zal het door andere wiskundigen worden beoordeeld. Dat proces duurt grofweg een jaar. Nog even geduld dus. (En als er dan nog foutjes ontdekt worden en/of het artikel geweigerd wordt, dan komen daar nog luttele maanden bij.)

In de komende maanden ga ik in ieder geval aan de slag om een ander project af te ronden. Dat heeft al anderhalf jaar in de koelkast gelegen omdat mijn proefschrift en de andere artikelen voorrang kregen. Daarnaast heb ik in de loop van de tijd ook ideeën verzameld voor nieuwe projecten. Dus voorlopig zal ik me niet vervelen!

De langslaper

Sinds afgelopen donderdag ben ik een langslaper. Dit betekent dat Judith nog steeds rond een uur of vijf wakker wordt en een aai over haar bol nodig heeft. En Hannah en Boaz komen ook iedere ochtend rond half zeven vragen of ze nu eindelijk uit bed mogen: ze hebben al zo lang rustig in bed liggen wachten en kunnen echt niet meer slapen. En toch ben ik een langslaper.

Toen we trouwden was ons slaapkamertje zo klein dat ons bed speciaal op maat gemaakt was: de sierlijsten om ons bed waren niet symmetrisch omdat het bed anders niet tussen de kast en de muur paste. Dat probleem is jaren geleden al verholpen, zodra we een iets grotere slaapkamer vonden. Maar een ander probleem bleef: het bed was “slechts” twee meter lang.

Om te begrijpen waarom dit een probleem is moet u een paar feitjes weten: ik ben zo’n 187 centimeters, van kop tot teen. Daarnaast vind ik het heerlijk als het dekbed tot vlak onder mijn oren komt. Grietje huivert van dat idee; zij wil het dekbed juist tot haar schouders. (Dit is in de eerste zeven jaar van ons huwelijk de grootste bron van echtelijke onenigheid geweest…) Het betekend dat zij meestal zo’n 15 centimers hoger in bed ligt dan ik. U raad het al: mijn tenen moesten het onderspit delven.

Bij de verhuizing moest ons bed uit elkaar, en we dachten dat het een mooie gelegenheid was om het weer in elkaar te zetten met langere bedzijden. Natuurlijk was dat wat optimistisch; we hebben hier eerst nog twee weken van de oude bedzijden gebruik gemaakt. Maar afgelopen donderdag is ons bed 20cm langer geworden. Het is een beetje een hack, want we hebben geen langer matras. Op internet vonden we een website waar je stukken matraskussens op maat kunt bestellen, voor bankkussens en dergelijke. Daar hebben we een matrasje van 20cm gekocht, en dat ligt nu aan ons voeteneinde op zijn eigen lattenbodempje (wat ook niet meer is dan een stuk van een oude bedzijde dat met hoekblikjes aan de nieuwe zijden is bevestigd). Het resultaat: ik kan als langslaper genieten van de Duitse nachten.

Laat ik maar eens kijken of Grietje al bijna wakker is. Dan kunnen we gaan ontbijten.

Technisch: hoe volg ik een weblog (RSS)

We hebben de vraag gekregen hoe mensen makkelijk ons weblog kunnen volgen. Dus hier even een bericht van de system administrator. Velen van jullie volgen misschien meerdere weblogs. Vaak staat er dan in de rechterkolom iets van de vorm Berichten RSS. (Op onze weblog staat het bijna onderaan in de rechterkolom, onder het kopje Meta.)

RSS is precies bedoelt voor het volgen van weblogs en dergelijke. Om gebruik te maken van RSS heb je een RSS-lezer nodig. Dit kan een programma zijn dat op de computer geïnstalleerd wordt, of een online service, zoals Feedly. Een online service zoals Feedly biedt vaak ook de mogelijkheid om een mailtje te sturen als er een update op een weblog is.

Door de RSS-feed van onze weblog (zie de link in de vorige alinea, of de rechterkolom) in te voeren in de RSS-lezer wordt u gemakkelijk op de hoogte gehouden van updates op ons weblog. En ook van alle andere weblogs die u wilt volgen.

Wissenschaftliche Mitarbeiter

Wat ga ik (Johan) nou precies voor werk doen in Duitsland? Ik zal proberen met dit bericht wat antwoorden op die vraag te geven. In een volgend bericht wil ik een voorbeeld geven van een van de wiskundige vragen waar ik over nadenk.

In de zomer van 2017 heb ik mijn proefschrift afgerond en verdedigd aan de Universiteit van Nijmegen. Tijdens dat onderzoekstraject van 4 jaar heb ik behoorlijk intensieve begeleiding gekregen van mijn begeleider Ben Moonen, maar heb ik ook geleerd om zelfstandig te werken aan het front van het onderzoeksgebied. Op zo’n promotietraject volgen de zogeheten postdoc-jaren. Een baan als postdoc is bedoeld om een jonge onderzoeker de kans te geven een eigen onderzoekslijn op te zetten.

Ik ben nu acht maanden als postdoc verbonden aan de Universiteit van Utrecht. In april begin ik als Wissenschaftliche Mitarbeiter (wetenschappelijk medewerker) aan een postdoc-positie in Freiburg. Het grootste deel van mijn tijd zal ik bezig zijn met onderzoek in de wiskunde, en in het bijzonder met het afbakenen en verkennen van mijn eigen onderzoeksvragen. Concreet betekent dat: lezen en bestuderen van het werk van andere wiskundigen; tijdens voordrachten zulk werk bespreken met collega’s; bij het krijtbord in de koffiehoek met iemand puzzelen aan een lastig probleem; achter mijn bureau nadenken over de juiste richting om een vraag te benaderen; computerprogramma’s schrijven die bepaalde berekeningen uitvoeren; resultaten opschrijven, bijschaven en publiceren; conceptpublicaties van andere wiskundigen beoordelen; enzovoorts…

Naast deze onderzoekstaken zal ik ook betrokken zijn bij het geven van onderwijs aan wiskundestudenten. In eerste instantie doe ik dat onder begeleiding van een universitair docent of hoogleraar, maar in een later stadium zullen ook die verantwoordelijkheden worden uitgebouwd. Daarnaast zal ik waarschijnlijk ook onderzoeksprojecten van studenten begeleiden (zoals bachelor- en masterscripties).

What’s in a name?

Hoe komt Bad Krozingen eigenlijk aan die naam?
In de omgeving van Bad Krozingen is een voorraadvat gevonden van waarschijnlijk meer dan drieduizend jaar oud. De streek werd vroeger bewoond door de Kelten en Merovingen, en namen als de Neumagen en Möhlin (twee riviertjes) stammen uit die tijd. In de eerste eeuw door de Romeinen veroverd. Er zijn restanten gevonden van pottenbakkersovens en een romeinse bron.

De eerste verwijzing naar Krozingen stamt uit een kloosterarchief uit het begin van de negende eeuw, waar de naam Scrozzinga aangetroffen wordt. Vermoedelijk naar een adelijke familie van Alemannen die de naam Crozzo droegen. Het plaatsje ontwikkelde zich verder als tussenpunt langs de romeinse verbindingsweg van Basel naar Offenburg op de plaats waar men de Neumagen overstak.

In 2011 stootte men tijdens een zoektocht naar aardolie onverwachts op natuurlijke bronnen. Hierna ontwikkelde Krozingen zich tot een kuuroord met verscheidene thermen. Om die reden werd in 1933 het predikaat “Bad” verleent. Op 1 september 2005 heeft Bad Krozingen stadsrechten gekregen.