De kool en de geit sparen

Vandaag is er gepuzzeld. Veel gepuzzeld. Een boer heeft in het bos een wolf gevangen. Die kan hij mooi verkopen op de markt in de stad. En als hij toch naar de stad gaat, kan hij eigenlijk ook meteen een van zijn geiten meenemen. “En waarom ook niet een grote zak vol bloemkolen?” denkt de boer bij zichzelf. Zo gezegd, zo gedaan. De boer gaat op pad.

Als hij bijna bij de stad is komt hij bij een rivier, waar een kleine roeiboot aan de oever ligt. Tot zijn schrik merkt de boer dat hij niet al zijn bagage in het bootje naar de overkant kan vervoeren. Hij kan slechts één ding tegelijk naar de overkant varen. Ofwel de wolf, ofwel de geit, of wel de kolen.

Tegelijkertijd bedenkt de boer dat hij de wolf en de geit niet alleen kan laten, want anders is er geen geit meer over. Eveneens kan de geit niet alleen gelaten worden met de bloemkolen. Anders is het: einde bloemkool. Kan de boer al zijn spullen naar de overkant brengen, en de kool en de geit sparen?

Onderaan deze website wordt een oplossing gegeven. Maar ik moedig u aan om eerst zelf even naar een oplossing te zoeken.

Voor de grap heb ik dit puzzeltje uitgelegd aan de computer. Ik gebruik voor mijn werk op de universiteit soms een programma dat wiskundige bewijzen tot in alle detail kan controleren. Dit programma kunt u ook via internet gebruiken, maar het is helaas wel wat trager dan wanneer het als geïnstalleerd programma wordt gebruikt. Als u dit wilt uitproberen dan moet u

  • Naar tinyurl.com/wolf-geit-kool gaan.
  • Ruim 30 seconden wachten.
  • Bovenaan het scherm staat een oranje balk. Als die balk groen wordt, dan is het programma klaar voor gebruik.
  • U ziet een website met twee schermen. In het linkerscherm staat heel veel onleesbare tekst. U moet helemaal naar beneden scrollen.
  • Als u naar beneden hebt gescrolled legt de tekst uit waar u uw cursor moet plaatsen. In het rechterscherm wordt de voortgang van de puzzel getoond. (Normaliter staat hier de voortgang van een bewijs.)
  • U kunt met de commandos “vervoer wolf”, “vervoer geit”, “vervoer kool” en “vervoer niets” vertellen wat de boer moet doen. Deze commandos moeten worden gescheiden door kommas, en mogen op verschillende regels staan.
  • Zie verder ook de uitleg in de groene tekst.

Als u de oplossing wilt zien die ik met Hannah, Boaz en Judith in elkaar heb geknutseld, dan moet u verder naar beneden scrollen.


Hier volgt onze oplossing.

De sprong van Vieta

Zoals aangekondigd zit ik zonder wifi bovenop een Alpentop. En toch een blogpost. Omdat ik er eentje in de wachtrij heb gezet. Houd u vast. Dit wordt een lange zit. Het is tenslotte vakantie.

Ieder jaar wordt de internationale wiskunde olympiade georganiseerd, waar middelbare scholieren door het oplossen van wiskundeproblemen kunnen strijden om eeuwige roem (-; De wedstrijd duurt twee dagen. Beide dagen krijgen de deelnemers 3 puzzels voorgeschoteld, en hebben ze vier-en-een-half uur de tijd om die puzzels op te lossen. Een perfecte score is uitzonderlijk, en erg zeldzaam.

Een puzzel

Vandaag wil ik jullie iets vertellen over de zesde opgave van de wedstrijd van 1988. De zesde opgave is altijd de lastigste opgave, en de opgave die we nu bekijken is zelfs berucht om zijn moeilijkheid. (Ik geef meteen toe dat ik de opgave niet zelf heb opgelost zonder te spieken.) Verscheidene professionele wiskundigen kregen de opgave voorgeschoteld, maar konden deze harde noot niet binnen 6 uur kraken.

De opgave: Laat $a$ en $b$ twee gehele getallen zijn, met $a \ge 0$ en $b \ge 0$. Stel dat $(a \cdot b + 1)$ een deler is van $a^2 + b^2$. Dan is $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ een kwadraat.

Met andere woorden: Als de breuk $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ gelijk is aan een of ander geheel getal $k$, dan bestaat er een geheel getal $d$ zodat $k = d^2$.

Als u deze puzzel wilt oplossen zonder verdere tips, dan moet u nu stoppen met lezen.


Het plaatje

Om een beetje gevoel voor het probleem te krijgen, toon ik u nu de grafiek van $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$.

Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd met Gnuplot]

Een eerste opmerking: In de opgave kijken we naar gehele getallen $a$ en $b$. In deze grafiek worden de waarden voor alle $a$ en $b$ op de getallenlijn getoond. Anders zouden we alleen een losse verzameling punten zien. Vanaf nu kijken we alleen nog maar naar punten $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.

De grafiek is dus enorm stijl dicht bij de assen, en heel erg vlak verder bij de assen vandaan. Er is ook een bepaalde symmetrie. Dat is niet toevallig, want de formule is ook symmetrisch in $a$ en $b$. Dus de waarde bij $(a,b)$ is gelijk aan de waarde bij $(b,a)$. Vanwege deze symmetrie mogen we in de opgave aannemen dat $a \le b$ geldt. Zo niet: dan verwisselen we $a$ en $b$ gewoon.

De gekleurde lijnen in het vlak op de bodem van de afbeelding zijn zogeheten contourlijnen. De rode lijn bestaat precies uit alle punten $(a,b)$ waarvoor $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = 4$ geldt. Zoals te zien in het plaatje bestaat iedere contourlijn uit twee losse stukken. Een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a < b$ geldt, en een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a > b$ geldt.

Dat klopt niet helemaal. Er zijn natuurlijk ook nog de punten $(a,b)$ waarvoor $a = b$ geldt. Dat is de diagonaal in het vlak. Laten we eens kijken wat er bij die punten gebeurt. Dan geldt $\frac{a^2 + a^2}{a \cdot a + 1} = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = k$. Dus $2a^2 = k \cdot (a^2 + 1) = k \cdot a^2 + k$. De waarden in de grafiek zijn positief, dus $k$ is positief. De enige manier waarop deze gelijkheid kan gelden is als $k = 1$. En… $1$ is een kwadraat. Dus voor de punten $(a,a)$ op de diagonaal is de opgave waar.

Aan de slag

Goed. Dan kunnen we nu terug gaan naar de punten $(a,b)$ met $a \ne b$, die dus niet op de diagonaal liggen. De opgave zegt dat als $a$ en $b$ gehele getallen zijn, en op de contourlijn van waarde $k$ liggen, dan is $k$ een kwadraat. Met andere woorden: Als $k$ geen kwadraat is, dan mag de contourlijn van $k$ dus geen enkel “gridpunt” bevatten. (Met een “gridpunt” bedoel ik een punt $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.)

Laten we dat dus maar proberen te doen. Neem een getal $k$, en bekijk de contourlijn van $k$. Zoals gezegd bestaat die uit twee delen. Het deel $H$ (hoog) van punten $(a,b)$ met $a < b$, en het deel $L$ (laag) van punten $(a,b)$ met $a > b$.

Twee gevallen

Nu gaan we een slimme truc toepassen. Dat gaat als volgt. Stel dat er een gridpunt $(a,b)$ bestaat in $H$, dus met $a < b$. Nu moeten we twee gevallen bekijken. Het geval $a = 0$, en het geval $a > 0$. Voordat we die gevallen bekijken, leg ik eerst uit wat de strategie is. In het geval $a = 0$ laten we zien dat $k$ een kwadraat is. En dus zijn we klaar. De opgave is voor dat geval bewezen.

In het andere geval, met $a > 0$ gaan we een nieuw gridpunt bouwen, zeg $(c,d)$, met de volgende eigenschappen: het punt $(c,d)$ ligt ook op $H$, en $d < b$. We hebben dan dus een nieuw gridpunt op $H$ met een kleinere $y$-coördinaat dan het oude punt. Nu kunnen we voor dit nieuwe punt weer de twee gevallen bekijken: ofwel $c = 0$, ofwel $c > 0$. Als $c = 0$ dan volgt opnieuw dat $k$ een kwadraat is. Als $c > 0$, dan kunnen we een nieuw gridpunt bouwen met een lagere $y$-coördinaat en… het proces herhaalt zich.

Maar het proces moet wel een keer stoppen! Want voor de punten $(x,y)$ op $H$ geldt $x < y$. En we vinden telkens een nieuw punt met een lagere $y$-coördinaat. Dus de $x$-coördinaat wordt ook steeds kleiner. Daarom moeten we na eindig veel stappen een keer een gridpunt vinden met $x = 0$. Zoals beloofd, is de opgave dan bewezen.

Terug naar ons oorspronkelijke punt $(a,b)$. Nu moeten we dus nog twee dingen doen: als $a = 0$ moeten we laten zien dat $k$ een kwadraat is, en als $a > 0$ dan moeten we een nieuw punt op $H$ maken met een kleinere $y$-coördinaat.

Stel dat $a = 0$. Dan zegt onze vergelijking $\frac{0^2 + b^2}{0\cdot b + 1} = k$. Oftewel $b^2 = k$. En, inderdaad. We zien dat $k$ een kwadraat is.

De sleutelsprong

Op naar het volgende geval. Stel dat $a > 0$. We moeten een gridpunt $(c,d)$ maken dat op $H$ ligt, dus $\frac{c^2 + d^2}{c \cdot d + 1} = k$ en $c < d$. Daarnaast willen we ook dat de $y$-coördinaat kleiner wordt, dus $d < b$.

Omdat ons punt $(a,b)$ op $H$ ligt, geldt $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = k$. Dat kunnen we omschrijven naar $a^2 + b^2 = k \cdot (a \cdot b + 1)$. Die vergelijking kunnen we nog weer een beetje verder omschrijven naar $$b^2 – (a \cdot k) \cdot b + (a^2 – 1). \qquad (\star)$$

We zien dus dat $b$ een nulpunt is van de parabool $f(X) = X^2 – (a \cdot k) \cdot X + (a^2 – k)$. Kies nu het punt $c = a \cdot k – b$. Met een klein beetje rekenwerk zien we dat $g(X) = (X – b) \cdot (X – c) = X^2 – (b + c) \cdot X + (b \cdot c)$. Maar $b + c = a \cdot k$, en $$b \cdot c = b \cdot (a \cdot k – b) = a \cdot b \cdot k – b^2.$$ Over deze vergelijking kunnen we nog iets meer zeggen. Want we weten hebben ook vergelijking $(\star)$. Door deze twee vergelijkingen te combineren, vinden we $b \cdot c = a^2 – k$.

Dat is bijzonder! Dat betekent dat $f(X) = g(X)$, en dus dat $c$ ook een nulpunt is van de parabool $f(X)$. De twee formules $a \cdot k = b + c$ en $a^2 – k = b \cdot c$ staan bekend als de formules van Vieta. Dat is de Vieta uit de titel van deze blogpost. En nu komt de sprong van Vieta.

Omdat $c$ een nulpunt is van de parabool $f(X)$, weten we dat $$c^2 – (a \cdot k) \cdot c + (a^2 – k) = 0.$$ Dat kunnen we weer omschrijven naar $a^2 + c^2 = k \cdot (a \cdot c + 1)$, en dus naar $\frac{a^2 + c^2}{a \cdot c + 1} = k$. Met andere woorden: $(a,c)$ is een nieuw punt op de contourlijn van $k$! We zijn met de formules van Vieta naar een ander punt gesprongen.

Zoals gezegd bestaat de contourlijn van $k$ uit twee delen. Het deel $H$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x < y$ geldt. En het deel $L$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x > y$ geldt. Laten we nog een keer kijken naar een plaatje van de contourlijnen.

De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd door Gnuplot.]

In dit plaatje zijn de contourlijnen geprojecteerd op het vlak. We kunnen hier een interessante observatie doen. Als we een contourlijn kiezen (dus een gekleurde lijn in het plaatje), dan zijn er voor iedere $x$-coördinaat maar twee mogelijke punten op de contourlijn. Een punt onder de diagonaal, en een punt boven de diagonaal. (Dit is natuurlijk geen bewijs, maar deze blogpost is lang genoeg. In het bijzonder is het niet duidelijk dat het nieuwe punt boven de $x$-as ligt. Een puzzeltje voor de enthousiaste lezer…)

Het punt $(a,c)$ ligt dus op de contourlijn van $k$. En het heeft dezelfde $x$-coördinaat als het punt $(a,b)$. Dus weten we dat $(a,c)$ onder de diagonaal ligt. Met andere woorden, $a > c$, en dus ligt $(a,c)$ in $L$.

Nu gebruiken we de spiegelsymmetrie die we helemaal aan het begin hebben opgemerkt. Als $(a,c)$ op de contourlijn van $k$ ligt, dan ook $(c,a)$. Omdat we spiegelen in de diagonaal, ligt $(c,a)$ in $H$. Inderdaad: $c < a$.

En nu zijn we klaar. We moesten een nieuw punt $(c,d)$ maken dat in $H$ ligt en een kleinere $y$-coördinaat heeft dan $(a,b)$, dus $d < b$. Welnu, $(c,a)$ ligt in $H$, en heeft $y$-coördinaat $a$. En zoals gezegd geldt $a < b$, omdat het oorspronkelijke punt $(a,b)$ ook in $H$ ligt.

Einde bewijs. QED.

Als u tot hier hebt door gelezen: mijn complimenten! En een hele fijne vakantie toegewenst.

Weest gegroet

“Moin” — “Moin moin”

Zo groet men elkaar in Hamburg en omgeving. Maar dat moet je in het Zwarte Woud niet proberen. Dan kijken ze je heel raar aan. En in Beieren word je gewoon de deur uit gezet (als je de verhalen moet geloven). Maar wat moet je dan zeggen? “Mogguh” (met een lekker schrapende ‘g’) of “Hoi” begrijpen ze hier ook niet. “Guten Morgen” en “Auf wiedersehen” zijn een tikkie formeel. Die laatste heb ik volgens mij nog nooit iemand horen gebruiken. Gelukkig begrijpt men “Allo” wel, en laat je daarmee niet meteen merken dat je een vreemde buitenlander bent.

Een groet die veel gehoord wordt bij afscheid nemen is het eenvoudige “Tschüss!” Een andere groet die veel gebruikt wordt, bij komen en gaan is “Ciao”. Dit is een bekende groet in Italië, waar men bij het afscheid nemen inmiddels vaak minstens vier keer achter elkaar “Ciao!” zegt. Hier in Zuid-Duitsland is 1x nog voldoende. Enfin, velen kennen deze groet wel van vakanties in Frankrijk, Spanje, Italië, of andere zuidelijke streken.

Een groet die we nog nooit eerder gehoord hadden, en die we vaak moeilijk te verstaan vonden (waarschijnlijk omdat het zo onbekend is) is “Servus”. We vonden het ook een beetje verdacht… “servus”… “slaaf” in het latijn. Waarom zou men dat zeggen.

Onlangs heb ik besloten om maar eens uit te zoeken wat die groet nu precies is, en waar die vandaan komt. Blijkt dat het inderdaad afstamt van een latijnse groet: “servus humillimus, domine spectabilis” wat zoveel betekent als “meest nederige slaaf, meest nobele heer”. Oftewel, een uitgebreide versie van het Nederlandse “Tot uw dienst”. Met het verschil dat die groet in Nederland niet erg gangbaar is (of misschien schertsend gebruikt wordt). In Duitsland is het juist een uiterst informele groet. Als student moet je niet proberen om een professor met “Servus” te begroeten aan het begin van een college. Een tikkie ironisch, gezien de oorsprong van de groet.

En wat ik nog meer leerde: dat “Ciao” ook slaaf betekent in het Venetiaanse dialect. Het heeft dus dezelfde herkomst als “Servus”. Ik veronderstelde altijd dat het qua oorsprong gerelateerd was aan “A Dieu!” omdat het enigszins dezelfde klankkleur heeft. Daar zat ik dus mooi naast.

Laat ik jullie dan nu groeten met “Goodbye!” — “God be by ye”.

Technische storing

“Neem contact op met uw systeembeheerder” — Tsjah, dat ben ik zelf… Misschien hebt u gemerkt dat er wat probleempjes waren met de weblog de afgelopen week. Die zijn inmiddels verholpen (als het goed is).

Deze website stond eerst op de server van een bedrijf waar ik wat webruimte huur. Maar dat bedrijf besloot om bepaalde dingen aan te passen, en daardoor werkten de websites niet meer goed. Nu was ik juist twee weken geleden weer eens aan de slag gegaan met mijn eigen server atarrimbo die in onze kelder staat te zoemen. (Een prachtig beestje: 16 processor-draadjes, 24GB RAM.) Vorige zomer heeft mijn fantastische zwager noch geholpen om die server aan het internet te hangen.

Enfin, ik heb dus besloten om de hele weblog (en ook mijn wiskunde-website waar al mijn artikelen &c opstaan) te verhuizen naar atarrimbo. Zo gezegd, zo gedaan. Na een avondje zweten en hoofdbrekens zijn alle databases en PHP-scripts verhuisd; de juiste pakketjes geïnstalleerd; alle instellingen aangepast en DNS records omgezet.

Bijkomend voordeel: de weblog wordt nu eindelijk via https opgediend (zie het kleine groene slotje in de adresbalk). Dus u kunt nu met een gerust hart onze verhaaltjes lezen en plaatjes bekijken. Boeven kunnen niet meer zomaar de inhoud van de website aanpassen terwijl die met lichtsnelheid over het grote boze web van atarrimbo naar uw computer surft.

Om voorlopig weer van de kopzorgen af te zijn heb ik ook meteen maar een pagina met ons privacybeleid aangemaakt. Daarin wordt haarfijn uitgelegd dat uw reacties op onze blogposts worden opgeslagen op onze website. Mocht u dat niet believen, dan kunt u contact opnemen met ondergetekende, en dan worden uw reacties grondig uit het systeem verwijderd.

Met vriendelijke groeten,

Johan Commelin
Systeembeheerder

Asperges in de sneeuw

Het aspergeseizoen is weer aangebroken… dat betekent dat we overal langs de grote wegen witte velden zien. De asperges groeien onder een wit zeil zodat er geen licht bijkomt. Dan blijven ze mooi wit. Ook schieten er overal kraampjes uit de grond, vlak naast de akkers. Daar staat dan iemand de ganse lange dag te wachten op een klant die in zijn 100 km/u langsrazende BMW op tijd in de gaten heeft dat hij trek heeft in een verse portie van het witte goud.

Vandaag hadden we extra veel medelijden met de asperge-verkopers. Want de wereld is nu extra wit: naast het witte zeil en het witte goud is er vandaag een dik pak witte sneeuw gevallen. Begin mei! Dan leggen alle vogels een ei, hebben we net aan onze kinderen geleerd. Maar vandaag konden ze met mutsen en wanten aan naar buiten om in de sneeuw te dollen.

Wij laten vandaag de asperges voor wat ze zijn. We hebben in stijl gesmuld van een stevig bord hutspot. Zonder rookworst, dat dan weer wel. Onze wintervoorraad was tenslotte al op 😉

Kastelen & Ridders

Afgelopen zaterdag hebben een ridder en twee prinsessen succesvol een Frans kasteel bespioneerd dat ooit door een Duitse keizer is gebouwd. Even na lunchtijd reed hun koetsier (in Franse auto) onopgemerkt de Rijn over, om vervolgens vanaf Colmar nog een halfuur naar het noorden te reizen. Vanaf 15km afstand zagen we de parel al schitteren boven op een vrijstaande heuvel: Château du Haut-Kœnigsbourg (ookwel Hohkönigsburg in de oorspronkelijke taal).

Bron: Wikipedia

Ruim honderd jaar geleden was er weinig pracht en praal op deze locatie. Maar nadat de Duitsers weer een bijdrage hadden geleverd aan het Frans-Duitse landjepik in de Elsas, vond keizer Wilhelm II dat het tijd was om met een megalomaan bouwproject zijn autoriteit te manifesteren. Het resultaat is een bonte verzameling aan laat-middeleeuwse en romantische elementen, compleet met anachronistische 19e eeuwse kanonnen.

Welnu, toen de ridder, de twee prinsessen en hun koetsier bij de burcht aankwamen voor hun spionage-activiteiten was het eenvoudig om dit voor de Franse onderdrukker verborgen te houden. Er stond namelijk een enorme rij voertuigen (van zogeheten toeristen) en onze koets kon heel onopvallend in dat rijtje aansluiten. Maar toen we vervolgens door de poort naar binnen liepen werd de koetsier even apart genomen door twee bebaarde Arabieren met «Securité» op hun vest. Gelukkig hadden ze geen harnassen en hellebaarden, daardoor leken ze toch nog best vriendelijk. «Of meneer de koetsier ook wapens bij zich droeg, of misschien iets anders gevaarlijks in zijn tas had?» Hmm, «Non, non…» En of ze dan nog even in de tas mochten kijken? «Oui, oui…». En daarna mochten we gewoon doorlopen. Aan de ridder en de twee prinsessen werd niets gevraagd. Pfff, dat was op het nippertje.

Hier inspecteren de ridder en de ene prinses het wapenarsenaal, terwijl de andere prinses op wacht staat om te kijken of er niet toevallig een Fransoos opduikt.
Wapens, wapens, wapens…
De buit na onze spannende spionage-activiteiten

Na een uitgebreide reconnaissance (toch handig soms, die Franse taal), vertrokken de ridder, de prinsessen en de koetsier weer met hun koets naar Duits grondgebied. De ridder en de prinsessen waren wat buit rijker geworden, de koetsier een paar knaken armer. Al met al een zeer geslaagde dag. En bij thuiskomst had de vrouw van de koetsier een heerlijke pan Nederlandse hutspot, met Nederlandse worst!

Nog een interessant weetje voor de Tolkien-fans onder het lezerspubliek: dit kasteel heeft als belangrijke inspiratiebron gediend voor de illustrator John Howe toen hij het werk van Tolkien van illustraties voorzag. Daar kon ik mij best iets bij voorstellen toen ik rondliep in het uitgebreide netwerk van steegjes, trappetjes, gangen, en royale troonzalen.

Dan weten zij het ook

Een grappenmaker heeft mij onlangs uitgelegd wat het nou precies betekent om in het onderwijs te werken:

Ik weet iets wat zij niet weten. Dan vertel ik dat aan hen. En dan weten zij het ook. En daar krijg ik dan geld voor.

Timzingt

Zo makkelijk is het. Punt. Nee, niet punt. Dubbele punt: want nu begint het pas. Ik moet namelijk op een gegeven moment ook toetsen of “zij” het daadwerkelijk ook weten. En daar komt heel wat bij kijken.

Er moet een tentamen (Klausur) worden gemaakt. Dat moet eerlijk zijn, en dus voldoen aan allerhande voorschriften. Zo is er bij wet vastgelegd dat een meerkeuze-toets met een voldoende moet worden beoordeeld als meer dan 40% van de vragen correct is beantwoord. Ongeacht het vakgebied of het niveau van de vragen. Geen meerkeuze-toets dus.

Vrijdag 1 februari zaten er dus zo’n 70 studenten te zwoegen op 5 open vragen. Drie uur lang. Dat leverde een enorme stapel papierwerk op. Want iedere student leverde ongeveer 8 paginas uitwerkingen in.

Vervolgens moet er binnen een week een officieel moment georganiseerd worden, waarbij studenten hun nagekeken tentamen in kunnen zien. Het zogeheten Klausureinsicht. Dat betekent dus ook, dat er binnen een week een enorme stapel tentamens nagekeken moet worden. Vorige week maandag heb ik dus samen met 6 anderen een hele dag lang met een rode pen strepen en opmerking in die tentamens zitten krabbelen.

Daarna moesten de cijfers uitgerekend worden. Dat gaat een beetje anders dan in Nederland. Heb je minder dan de helft van de punten, dan krijg je een 5. Onvoldoende. Heb je meer dan de helft van de punten, dan krijg je een cijfer tussen de 4 (zeer matig) en de 1 (uitstekend).

Woensdag was de grote dag. Om 8 uur ’s ochtends samen met de prof en een hele stapel tentamens naar de collegezaal. De studenten stonden al samengedromd op ons te wachten. Voorin de collegezaal stond een hele lange tafel waarop we de tentamens in alfabetische volgorde hebben uitgestald. Vervolgens mochten de studenten één voor één naar binnen komen, hun collegekaart laten zien, en daarna met hun tentamen ergens in de zaal plaatsnemen.

Nu moeten jullie niet denken dat er dan zo’n 10 à 15 studenten komen. Nee… iedereen komt. Want dit is je enige kans om je cijfer te weten te komen voordat het officieel wordt vastgelegd. Als je daarna nog een opmerking wilt maken dan moet je een juridische procedure opstarten. Uiteraard worden bij het nakijken wel eens een paar foutjes gemaakt, en daarom is het zaak om nu zorgvuldig het tentamen te screenen op onrechtvaardige rode strepen of verkeerd opgetelde punten.

Ongeveer de helft van de studenten had het tentamen gehaald. En ongeveer de helft van de studenten leverde hun ingekeken tentamen zonder opmerkingen weer bij mij in. Ofwel met een wanhopig gezicht omdat het aantal behaalde punten dichtbij het vriespunt lag, ofwel opgewekt omdat ze blij waren dat ze het tentamen gehaald hadden. De andere helft trok alles uit de kast. Met algemene vragen mochten ze naar mij toe. Voor klachten over een onterechte beoordeling moest ik ze doorverwijzen naar de prof. Uiteindelijk waren we bij drie studenten vergeten een los blad na te kijken.(Schrijf volgende keer a.u.b. even op dat je opgave 3 op een apart vel uitwerkt, nadat je je eerste poging hebt doorgekrast.) Bij twee andere studenten hadden we punten niet helemaal goed opgeteld. (Excuses!) De rest heeft ijverig geprobeerd om nog wat punten bij elkaar te sprokkelen; maar mijn prof heeft ze als een Russische grenswacht duidelijk gemaakt hoe de zaken ervoor stonden. (Waarom weet u zo goed hoe Russische grenswachten zich gedragen? Ach ja, ik ben ook jong geweest… en dan doe je wel eens onverstandige dingen…)

Maar wat moet je nu doen als student wanneer je niet bij het Klausureinsicht aanwezig kunt zijn? Dan geef je een volmacht (met handtekening!) aan een medestudent, zodat die jouw tentamen mag bekijken. Daar werd handig gebruik van gemaakt. Als je denkt dat je de stof niet zo goed beheerst, maar je wilt toch graag extra punten halen, dan stuur je gewoon een getalenteerde medestudent om je puntenaantal wat op te krikken. Helaas, die vlieger ging ook niet op.

Afijn, na ruim twee uur waren alle studenten weer vertrokken en konden we beginnen aan de laatste etappe. Alle cijfers op een speciaal formulier invullen en inleveren bij het cijferkantoor. Daar worden alle cijfers en tentamens gearchiveerd en ruim 10 jaar zorgvuldig bewaard.

En al die studenten die het tentamen niet gehaald hebben? Die mogen naar het hertentamen komen. En dan begint de hele riedel weer opnieuw. Surveilleren. Nakijken. Klausureinsicht. Maar daar wil ik nu nog even niet aan denken. Na een enerverende week begint nu een periode van ruim twee maanden zonder onderwijsverplichtingen. Dat betekent dat ik nu weer even volop aan de slag kan met mijn onderzoek. Daar zie ik erg naar uit.

Voor de liefhebber is hier (een equivalente vorm van) opgave 1.a van het tentamen:
Laat zien dat er geen breuk $x = p/q$ (dus $p$ en $q \ne 0$ geheel) bestaat zodat $x^3 – 5x^2 + 3 x – 2 = 0$.
Oplossingen kunnen per email worden ingeleverd bij de auteur.

“Gemeinsames Leben” — Dietrich Bonhoeffer

De groei van mijn boekenstapel met nieuwe boeken is altijd groter dan de krimp door gelezen boeken. De feestdagen zijn een uitermate geschikte tijd om een sprintje te trekken en wat scha in te halen. Afgelopen zomer vond ik op de boekenplank in onze kerk het boekje “Gemeinsames Leben” van Dietrich Bonhoeffer. De Nederlandse vertaling is verschenen onder de titel “Gemeenschappelijk leven”, en het thema van het geschrift betreft inderdaad de praktijk van gemeenschap der heiligen; de broeder- en zusterliefde; het dienen van elkaar, en “de ander uitnemender achten dan zichzelf”.

Na een kort voorwoord bespreekt DB in vijf hoofdstukken aspecten van de christelijke gemeenschap. Het eerste hoofdstuk is van een abstractere aard, en geeft een schets van het begrip “gemeenschap” met veel verwijzingen naar de Bijbel. Daarna volgen twee hoofdstukken die heel praktisch ingaan op het vormgeven aan Gods-dienst binnen een christelijke gemeenschap. Hoewel de richtlijnen algemeen en behartenswaardig zijn, vindt ik ze moeilijk toepasbaar binnen ons jonge gezinnetje. DB heeft hier ook oog voor: het boekje is geschreven naar aanleiding van een “experiment” in een theologen-seminarium.

Vervolgens schrijft DB een hoofdstuk over de christendienst, die allereerst bestaat uit luisteren naar de ander, daarna in het praktisch helpen van de ander, en tenslotte in het “dragen van elkanders lasten”. De ander dienen met een gesproken woord (of Woord) is iets waar DB bijzonder aandacht aan besteed. Hier is een speciale balans nodig: al te gemakkelijk beschadigen we iemand op met een goedbedoelde maar misplaatste opmerking, en even gemakkelijk houden we onze mond juist daar waar we moeten spreken. In ieder geval is duidelijk: zonder te luisteren, te helpen en te dragen, moeten we uiterst voorzichtig zijn met spreken.

Het laatste hoofdstuk van dit boek besteed DB aan de biecht en het avondmaal. Met name de biecht is een onderwerp dat zich binnen protestantse kringen hult in een ongemakkelijke stilte. Het voert te ver om dit onderwerp hier uitvoerig te bespreken, maar laat ik toch in het kort de claim van DB aanvoeren: zonder biecht zijn we gemeenschap van vromen, en niet een gemeenschap van zondaren die in Christus geheiligd zijn. De gemeenschap der heiligen is een gemeenschap van zondaren. Pas wanneer dat eerlijk onder ogen wordt gezien, ontstaat er in de vergeving van Christus echte gemeenschap. (Wie zich door dit onderwerp geprikkeld voelt, neme vooral zelf dit boekje ter hand!)

Ik wil deze blogpost afsluiten met wat citaten (mijn vertaling) die mij bijzonder aanspreken. De paginanummers verwijzen naar “Gemeinsames Leben” (23. Auflage, 1987. Chr. Kaiser Verlag München).

P 20. “Hij heeft de broeder alleen nodig om Jezus Christus wil. De Christus in het eigen hart is zwakker dan de Christus in het Woord van de broeder; deze is onzeker, die is zeker.” (Waarop baseert DB deze claim? Pragmatisch gezien kan ik er uitstekend in meekomen. Mijn geloof is vaak zwak. Maar doet deze uitspraak niet tekort aan de kracht van de Geest die in ons woont?)

P 21/22. “Dat wij alleen door Jezus Christus broeders zijn, heeft een onmetelijke betekenis. Niet de ernstige, naar broederschap verlangende, vrome ander, die mij tegemoettreed, is broeder, … maar broeder is hij die door Christus verlost is. … Dat wijst alle troebele verlangens naar meer van meet af aan de deur. Wie meer hebben wil, … wil niet christelijke broederschap, … draagt onzuivere en onreine wensen binnen. … Precies hier dreigt voor de christelijke broederschap het allerzwaarste gevaar, … de verwisseling van christelijke broederschap met een wensbeeld van vrome gemeenschap, … christelijke broederschap is geen ideaal, maar een goddelijke werkelijkheid.”

P 31. “Omdat Christus tussen mij en de ander staat, daarom mag ik niet naar onmiddelijke gemeenschap met hem verlangen. … In zijn vrijheid van mij wil de ander geliefd zijn als degene die hij is, namelijk als iemand voor wie Christus mens werd, stierf en opstond uit de dood…”

P 74. “Wie zijn naaste de voorbede ontzegd, die ontzegd hem de christendienst.” (Helaas is dit een van mijn zwakke punten. DB geeft hierin heel concrete aanbevelingen.)

P 75. “Heeft de gemeenschap er toe gediend, de enkeling vrij, sterk en mondig te maken, of heeft ze hem onzelfstandig en afhankelijk gemaakt? … angstig en onzeker gemaakt?”

P 79. “God wil niet dat ik de ander naar het beeld vorm dat mij goed lijkt, dus niet naar mijn eigen beeld, maar in zijn vrijheid van mij heeft God de ander naar zijn evenbeeld gemaakt. Ik kan niet van tevoren weten hoe Gods evenbeeld in anderen eruit zal zien. Telkens weer heeft het een volledig nieuwe, alleen in Gods vrij schepping gegronde vorm. Mij mag dat vreemd toeschijnen, ja zelfs ongoddelijk. Maar God schept de ander tot het evenbeeld van zijn Zoon, de gekruisigde, en ook diens evenbeeld scheen mij werkelijk vreemd en ongoddelijk toe, voordat ik het begreep.”

(On)voorspelbare priemgetallen

Het is alweer een hele tijd geleden dat ik iets over mijn werk heb geschreven. Kort gezegd heb ik het heel erg goed naar mijn zin op mijn werk. Ik heb verschillende gasten uit kunnen nodigen met wie ik samen aan onderzoeksprojecten heb kunnen werken. Een project dat al ruim drie jaar loopt is inmiddels bijna afgerond, en samen met twee collega’s uit Freiburg en een andere wiskundige uit Basel ben ik een ander project aan het opstarten. Daarnaast ben ik ongeveer een kwart van mijn tijd kwijt aan onderwijs. Dat varieert van het begeleiden van een studentenseminarium tot het verzinnen van huiswerkopgaven en het begeleiden van tutoren.

In de rest van deze blogpost wil ik een voorbeeld geven van een wiskundige stelling die ik bijzonder interessant vind. Ik zal proberen zoveel mogelijk begrippen uit te leggen, maar ik kan niet verkomen dat sommige aspecten wat ingewikkeld zullen zijn. We beginnen met het herhalen van de definitie van een priemgetal.

Definitie. Een priemgetal is een getal p > 1 dat geen andere delers heeft dan 1 en zichzelf.

De eerste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Een voorbeeld van een getal dat niet priem is, is 21, want 21 = 3 × 7. Priemgetallen zijn erg belangrijke getallen. Het zijn de bouwblokken waarmee alle andere getallen gemaakt kunnen worden door te vermenigvuldigen. De rij van priemgetallen is oneindig lang (dit werd al zo’n 300 jaar voor Christus bewezen door Euclides). Over het algemeen gedraagt de rij van priemgetallen zich zeer onvoorspelbaar. Er is geen eenvoudige formule die ons kan zeggen wat het volgende priemgetal in de rij zal zijn.

Het volgende concept dat we nodig hebben is modulorekenen. Dit is een moeilijk woord voor rekenen op een klok, maar het aantal getallen op de klok hoeft geen 12 te zijn. Als het 10 uur is, dan weten we allemaal dat het 5 uur later 3 uur is, want 10 + 5 = 15, en 15 – 12 = 3. Op soortgelijke wijze kunnen we uitrekenen dat 3 × 5 gelijk is aan 1 op een klok met 7 cijfers. Want 3 × 5 = 15, en 15 – 7 – 7 = 1. Een ander voorbeeld is 3 × 3 = 2 op de klok met 7 cijfers, want 3 × 3 = 9, en 9 – 7 = 2.

Dat laatste voorbeeld is wel interessant: het laat zien dat 2 een kwadraat is op de klok met 7 cijfers. Dat betekent dat er een getal is (namelijk 3) dat na vermenigvuldiging met zichzelf de uitkomst 2 geeft. Laten we dit eens op wat andere klokken proberen. Om technische redenen kijken we alleen naar klokken waarvan het aantal cijfers een priemgetal is. Op de klok met 3 cijfers geldt 1 × 1 = 1 en 2 × 2 = 1. Op de klok met 5 cijfers geldt 1 × 1 = 1 en 2 × 2 = 4 en 3 × 3 = 4 en 4 × 4 = 1. Op deze klokken is 2 dus geen kwadraat. Het blijkt dat 2 ook geen kwadraat is op de klok met 11 of 13 cijfers, maar op de klok met 17 cijfers geldt 6 × 6 = 2, want 6 × 6 = 36 en 36 – (2 × 17) = 2.

Nu kunnen we ons de volgende vraag stellen: voor welke priemgetallen p is het getal 2 een kwadraat op de klok met p cijfers? Zoals ik hierboven al had gezegd, gedraagt de rij van priemgetallen zich heel erg onvoorspelbaar. Dus er is geen makkelijk antwoord op deze vraag. Toch blijkt er een mooi antwoord te zijn, wat laat zien dat de priemgetallen door de juiste bril zich weer heel regelmatig gedragen.

De eerste 10 priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, en 29. Op de klokken met 2, 7, 17, of 23 cijfers is 2 een kwadraat. Op de andere 6 klokken niet. Vervolgens heb ik aan mijn computer gevraagd voor hoeveel klokken 2 een kwadraat is in de lijst van de eerste 100 priemgetallen: dat blijken er 48 te zijn. Dat is bijna de helft! Daarna heb ik mijn computer nog iets harder laten werken. Op de eerste 1000 klokken waarvan het aantal cijfers een priemgetal is, blijkt dat 2 een kwadraat is op 494 klokken, en voor de eerste 10000 klokken zijn er 4988 klokken waarop 2 een kwadraat is. Het blijkt dat dit geen toeval is. Dirichlet heeft de volgende stelling bewezen.

Stelling (Dirichlet). Als je de eerste n klokken bekijkt waarvan het aantal cijfers een priemgetal is, dan is 2 een kwadraat op ongeveer de helft van de klokken; en hoe groter je getal n kiest, hoe dichter de verhouding bij 1/2 komt.

Dit is ook niet een speciale eigenschap van het getal 2. Ook 3 is een kwadraat op ongeveer de helft van de priemklokken. Maar bij 4 gaat het mis, want 4 = 2 × 2, en is dus een kwadraat op elke klok. Maar 5 en 6 zijn weer kwadraten op ongeveer de helft van de priemklokken. De stelling werkt voor alle getallen die niet deelbaar zijn door een kwadraat!

Toen ik deze stelling voor het eerst leerde was ik erg verbaasd. En het verhaal is nog niet klaar. Er is nog veel meer structuur bekend onder de zogeheten stelling van Chebotarev. Zelf besteed ik nu een deel van mijn tijd aan onderzoek naar een vermoeden dat deze stelling van Chebotarev verregaand generaliseert: het zogeheten Sato–Tate vermoeden. Maar ondanks dat het verhaal niet af is, is deze blogpost nu wel af, en zal ik jullie niet verder vermoeien met deze (on)voorspelbare priemgetallen.

Hieperdepiep Hoera!

Er is er alweer ééntje jarig, maar ditmaal niet in ons gezin. Vandaag wordt Duitsland 28, en daarom heeft iedereen een vrije dag: de kinderen hoeven niet naar school, en ik hoef niet naar mijn werk. (Vanuit Zuid-Duitsland natuurlijk ook onze hartelijke felicitaties aan alle Leienaren die vandaag ontzet haring, wittebrood en hutspot eten.)

Op 3 Oktober 1990 zijn Oost- en West-Duitsland officieel herenigd tot één republiek, en dit wordt jaarlijks herdacht op de “Tag der Deutschen Einheit”.

3 Oktober 1990, vor dem Reichstag
In de nacht van 2 op 3 Oktober 1990 wordt de Eenheidsvaan gehesen.
Verzegelde eenheidsverklaringen in een archief in Berlijn
De verzegelde eenheidsverklaringen, die op 31 Augustus 1990 zijn ondertekent, worden zorgvuldig in een archief in Berlijn bewaard.