Angst

Vandaag zongen we tijdens onze online kerkdienst een lied dat we in het verleden wel vaker gezongen hebben, maar dat me nu bijzonder aansprak: “Aber der Herr ist immer noch größer” van Elisabeth en Gerhard Schnitter. Ik citeer hier het eerste en het laatste couplet.

— Couplet 1:
Wellen der Angst kommen auf mich zu,
beklemmen und hemmen, nehmen mir die Ruh.
Angst vor dem Leben und der Einsamkeit,
dem Sterben, dem Alltag und der freien Zeit.

Golven van angst komen op mij af,
beklemmen en remmen, benemen mij de rust.
Angst voor het leven, voor de eenzaamheid,
voor sterven, het dagelijks leven, en voor vrije tijd.

Vrije tijd! Angst voor het leven van alle dag, voor vrije tijd. Plotseling worden we erdoor overweldigd. Als een vloedgolf.

— Refrein:
Aber der Herr ist immer noch größer,
größer als ich denken kann.
Er hat das ganze Weltall erschaffen.
Alles ist ihm untertan.

Maar de Heer is altijd nog groter,
groter dan ik bedenken kan.
Hij heeft het hele heelal geschapen.
Alles is hem onderworpen.
— Couplet 5:
Durch alle Wellen trägt er mich an Land.
Geborgen, voll Freude faß ich seine Hand.
Ist auch dass Brausen übermächtig groß:
Er geht auf den Wellen, und er läßt nicht los.

Door alle golven draagt hij mij aan land.
Geborgen, vol vreugde vat ik zijn hand.
Al is het bruisen overweldigend groot:
Hij loopt op de golven, en hij laat niet los.

Doorgesneden en afgesneden

We zijn weer online! Wat blijkt… op dinsdag was er een nationale uitval van het mobiele telefonienetwerk. Daarbovenop heeft een bouwkraan een glasvezelkabel doorgesneden ergens in Bad Krozingen. Daardoor zat de hele stad zonder internet, want kennelijk was het de enige kabel die ons aansloot op de buitenwereld. Mensen liepen verdwaasd door het centrum op zoek naar netwerkverbinding. De brandweer hield alle kazernes permanent bezet, en plaatste een brandweerauto op het marktplein, zodat mensen daar naartoe konden rennen met hun noodmeldingen. (Maar wij wisten dat niet, want we hadden geen contact met de buitenwereld…) Onze kinderen hebben het probleem als volgt gevisualiseerd.

  1. Waarom is er maar één zo’n kabel? Het moet toch niet zo moeilijk zijn om een backup plan te hebben, zodat je om problemen heen kunt routen?
  2. Waarom weet zo’n bouwkraan niet dat ze dichtbij een kritieke internetkabel aan het werk zijn?
  3. Waarom duurt het meer dan 48 uur voordat ze dit probleem kunnen verhelpen?
  4. Waarom kan de helpdesk van O2 (onze internet provider) mij niets over de oorzaak van dit probleem vertellen, en moeten we de informatie bij het spreekuur van de huisarts krijgen?
  5. Waarom is er geen website die dit soort grote internetuitvallen opsomt, zodat je kunt kijken wat er aan de hand is op het moment dat je via je mobiele telefoon weer internet hebt?
  6. Stel dat je mobiele telefoon niet werkt, omdat er nationale problemen zijn met mobiele telefonie. Gelukkig heeft je vrouw een Nederlands nummer, dat nog wel werkt. Je internet ligt ook plat. Dus bel je naar de helpdesk, omdat je geen idee hebt wat er allemaal aan de hand is. Waarom moet je dan eerst 15 vragen van een bot beantwoorden, om vervolgens een medewerker aan de lijn te krijgen voor een gesprek dat als volgt verloopt:
  • O2: Hoi, je spreekt met Karel.¹
  • JMC: Hallo, met Johan. We hebben problemen met ons internet. De router meldt dat de DSL-verbinding werkt, maar PPPoE werkt niet. Vermoedelijk zijn er dus geen problemen tussen mijn laptop en het internetkastje in de straat, tussen dat kastje en de provider.
  • O2: Momentje. Wat is je adres?
  • JMC: Thürachstraße 13, Bad Krozingen.
  • O2: Ok, en kun je nog een keer je naam spellen?
  • JMC: J-O-H-A-N — C-O-M-M-E-L-I-N
  • O2: Bedankt. Wat was je probleem?
  • JMC: Internet doet het niet. We hebben wel een DSL-verbinding, maar PPPoE faalt.
  • O2: Aha. Ik zie hier inderdaad dat om 10:54 de verbinding is verbroken. Ben je bij je router?
  • JMC: Ja.
  • O2: Brandt het DSL lampje?
  • JMC: Ja.
  • O2: Brandt het rode info-lampje?
  • JMC: Ja.
  • O2: Kun je op de router inloggen?
  • JMC: Ja.
  • O2: Klik op “Internet” en dan “Zugangsdaten”. Welke info staat daar?
  • JMC leest de gebruikersnaam voor.
  • O2: Ok, bedankt. Kun je op het knopje “Übernehmen” klikken?
  • JMC: Yep. Halve minuut later: Verbinding maken is mislukt.
  • O2: Hmmm, wat is de foutmelding?
  • JMC: PPPoE timeout.
  • O2: Ah, ok, een PPPoE timeout. Tsjah, daar kun jij verder niets aan doen. Dat probleem ligt tussen je router en onze infrastructuur. Ik zal even voor je kijken of er een storing bekend is. Even later: Yep, het spijt me. Ik zie dat er bij jullie in de regio een grote internetstoring is. Probeer vanavond nog maar een keer om verbinding te maken. Succes! Ciao! Dikke doei!

¹ Om privacyredenen is de naam van Karel gefigneerd.

(t)Shah

Misschien heeft u de afgelopen weken over “exponentiële groei” gehoord in het nieuws. Het is belangrijk om te begrijpen wat dit betekent.


Een sprookje over exponentiële groei

Er was eens… héél lang geleden… in een land hier vér vandaan, een wijze die Sessa heette. Op een dag begon Sessa aan een lange reis naar het hof van het naburige Perzië, om daar een kalenderjaar als privéleraar van de jonge prinsen door te brengen. Omdat Sessa zich onderweg wat verveelde, besloot hij een nieuw bordspel te ontwerpen. Hij verdeelde een vierkant spelbord in acht rijen en acht kolommen, en plaatste daarop speelstukken: een koning, een koningin en de vier klassieke Aziatische legereenheden: voetvolk, ruiters, olifanten, en strijdwagens. Toen Sessa in Perzië aankwam, werd hij royaal ontvangen aan het hof. Nadat hij zich had opgefrist mocht hij tijdens het nieuwjaarsdiner op audiëntie gaan bij de vorst. Om de koning te vermaken besloot hij zijn nieuwe bordspel uit te leggen. De koning (= Sheikh = Shah = Schaak), die erg in zijn nopjes was met dit spel, besloot om dit nieuwe tijdverdrijf naar zichzelf te vernoemen, en ter compensatie deed hij Sessa het volgende voorstel:

“Zeg mij, hooggeleerde Sessa, hoe kan ik u belonen. Wat u mij ook vraagt, ik zal het u geven. Al is het de helft van mijn koninkrijk!”

De wijze Sessa besloot dat hij de vorst nog een tweede les zou leren, na deze succesvolle schaakles, en hij antwoordde minzaam en arglistig:

“O, hooggeëerde vorst! Ik wens u een lang leven toe. Ik wil u niet tot last zijn. Schenk mij toch vandaag op het eerste speelveld van het schaakbord een graankorreltje. Schenk mij over een week op het tweede speelveld twee graankorreltjes; schenk mij nog een week later op het derde speelveld vier graankorreltjes; en vervolgens zo iedere week het dubbele aantal graankorreltjes van de week daarvoor. Dat zal dit jaar mijn loon zijn.”

De koning lachte, en verzocht terstond een kamerdienaar om de eerste graankorrel te laten bezorgen. Even later werd op een zilveren schotel een prachtige goudgele graankorrel binnengedragen, die Sessa dankbaar en zorgvuldig aannam en in zijn buidel opborg.

Een week later werd Sessa opnieuw in de troonzaal geroepen. Terwijl de koning glimlachend toekeek, pakte Sessa twee graankorrels van de zilveren schotel en borg ze in zijn buidel op. Zeven dagen later nam hij vier graankorrels in ontvangst, en de week daarna waren het acht graankorrels. Sessa merkte geïnteresseerd op dat de kamerdienaar licht gefronste wenkbrauwen had.

Omdat wij ons minder vervelen dan Sessa op zijn reis naar Perzië, maken we nu even een sprongetje in de tijd. Tien weken nadat Sessa het schaakspel aan de koning had uitgelegd, lagen er ruim duizend graankorreltjes op de grote zilveren schotel. Om precies te zijn: 1024. Nog acht weken later bleef de fronsende kamerdienaar die de zilveren schotel gedragen had afwachtend bij de troon staan. Toen de koning dit opmerkte vroeg hij: “Al-Khwarizmi, ik zie al tijden een frons op uw voorhoofd. Wilt u mij iets zeggen?”. De knecht antwoordde nederig: “O, hooggeëerde koning. Met uw welnemen, ik weet niet of volgende week de graankorrels nog wel op de zilveren schotel passen.” Waarop de vorst glimlachend antwoordde: “Mijn beste Al-Khwarizmi, dan gebruiken we vanaf nu toch twee zilveren schotels?”

Laten we even een kort uitstapje maken, om te begrijpen wat het probleem van Al-Khwarizmi was. Iedereen weet dat ze er in Engeland van houden om gekke maten en gewichten te gebruiken: ponden, inches, voeten, mijlen, enzovoorts. Een van die gewichten is de grain: een gewichtsmaat die gelijk is aan het gemiddelde gewicht van een graankorrel. Dus een zakje met 1000 graankorrels, weegt ongeveer 1000 grain. Omgerekend naar onze “normale” SI-eenheden is 1 grain gelijk aan 64.79891 mg. Dus dat zakje met 1000 graankorrels weegt ongeveer 65 gram. Niet zo heel veel dus. Een zak met 10.000 graankorrels weegt ongeveer 648 gram. Dat is ongeveer een melkpak vol, want 1 liter graan weegt ongeveer 790 gram.

In week 18 moest die arme Al-Khwarizmi een zilvere schotel met 262.144 graankorrels naar Sessa dragen. Dat is bijna 17 kilogram, en ongeveer 21,5 liter. Dat gaat een week later inderdaad niet op één zilveren schotel passen. Hieronder staat een tabel die weergeeft hoeveel graan Sessa krijgt tot en met week 20.

WeekAantalkgl
0 100.00006500.000082
1 200.00013000.000164
2 400.00025900.000328
3 800.00051800.000656
4 1600.00103700.001312
5 3200.00207400.002625
6 6400.00414700.005250
7 12800.00829400.010499
8 25600.01658900.020998
9 51200.03317700.041996
10 102400.06635400.083993
11 204800.13270800.167985
12 409600.26541600.335970
13 819200.53083300.671940
14 1638401.06166501.343880
15 3276802.12333102.687760
16 6553604.24666105.375521
17 13107208.49332310.751041
18 26214416.98664521.502083
19 52428833.97329143.004166
20104857667.94658286.008331

De koning realiseerde zich al snel dat zijn opmerking richting Al-Khwarizmi een beetje naief was. In week 19 waren twee zilveren schotels inderdaad voldoende om het graan naar de kruiwagen van Sessa te dragen. Maar in week 20 kreeg Sessa wel 86 liter graan, en daarvoor waren toch zeker 4 zilveren schotels nodig! En in week 21, kreeg Sessa natuurlijk tweemaal zoveel, dus 8 zilveren schotels boordevol met goudgeel graan.

Nu moeten we niet vergeten dan een schaakbord 8 rijen en 8 kolommen heeft. Dat zijn dus in totaal 64 speelvelden. Al-Khwarizmi, die een paar jaar later de grondlegger van de algebra zou worden, begon zich toch een beetje zorgen te maken. Maar toen hij daarover tegen de koning begon, lachte die zijn zorgen weg. “Kom, kom, oude Al-Khwarizmi. Je wilt toch niet zeggen dat de vorstelijke graanpakhuizen ook maar iets zullen merken van dit komische spelletje? Zeg me eens, wat is de jaarlijkse graanproductie van ons machtige Perzische wereldrijk?”

Helaas zijn de overleveringen er niet heel duidelijk over wat het antwoord van Al-Khwarizmi was. Maar we kunnen een grove schatting maken. In het jaar 2019 werd wereldwijd ongeveer 780 miljoen ton graan geproduceerd. Dat is dus 780.000.000.000 kilogram. Laten we royaal zijn, en zeggen dat de Perzen, als echte landbouwkundige experts, ieder jaar ongeveer 790 miljoen ton graan in de graanpakhuizen van Sheikh Shah opsloegen. Voor het gemak gaan we ervan uit dat een pakhuis ongeveer het formaat 20m × 50m × 10m heeft, zodat er 10.000.000 liter in past. Per pakhuis is dat dus 7.900.000 kilogram graan, ofwel 7.900 ton goudgele korreltjes. Dat betekent dat er in totaal 100.000 pakhuizen waren. Dat is natuurlijk een beetje veel, maar we hadden besloten om gul te zijn. Duidelijk is dat 8 zilveren schotels met 17 kilogram graan daarbij volledig in het niet vallen.

Na het mompelende antwoord van Al-Khwarizmi, stuurde de koning hem ietwat geïrriteerd weg. “Hoe durf je te twijfelen aan de gulheid van een Perzische vorst!” Zijne majesteit schoof een pion naar het 22-ste vakje van zijn schaakbord.

In week 25 bevorderde de koning Al-Khwarizmi tot minister van landbouw en directeur van PerziPost. Zijn eerste instructie was om bijna 3 kubieke meter graan bij het gastenverblijf van Sessa te bezorgen. Zes weken later was het pionnetje van de koning halverwege de lange reis van het eerste vakje van het schaakbord naar speelveld 64. Bij Sessa voor de deur stond een grote karavaan. Vierentwintig olifanten trokken samen zes grote zeecontainers met graan naar het appartement van de wijze spelontwikkelaar. Die week kreeg Sessa ongeveer 140 ton graan. Dat is een kleine 2% uit één van die 100.000 pakhuizen, want in ieder pakhuis passen ongeveer 303 zeecontainers.

In week 37 vroeg Al-Khwarizmi aan de koning om permissie om een volledig pakhuis op naam van de wijze Sessa te stellen. “Hoeveel pakhuizen hadden we in totaal? U weet dat ik hem beloofd heb dat hij alles mocht vragen. Al was het de helft van mijn koninkrijk! Wat is nu een pakhuis, vergeleken met de 100.000 pakhuizen die we rijk zijn. Dat is nog geen 1%, als ik me de rekenlessen van vroeger goed herinner.” Behalve het pakhuis, kreeg Sessa ook nog 38,5 zeecontainers.

In week 40 kreeg Sessa negen koninklijke graanpakhuizen cadeau, omdat hij 9 maanden geleden een bordspelletje had uitgelegd aan de vorst van Perzië. Het was begonnen met 1 graankorreltje. Tien weken later waren het ongeveer duizend graankorreltjes geweest (om precies te zijn, 1024). In week 37 kreeg Sessa 1 graanpakhuis. In week 47 kreeg hij ongeveer 1000 graanpakhuizen (om precies te zijn 1154).

De koning begon zich nu persoonlijk met de zaak te bemoeien. Om te beginnen liet hij zorgvuldig alle berekeningen controleren. Al-Khwarizmi herhaalde langzaam zijn methode voor de vorst, en merkte daarbij op dat hij het wel gepast vond om dit een algorithme te noemen. Het bordspel was tenslotte vernoemd naar de koning, dan mocht de uitvoering van de beloning wel vernoemd worden naar diens knecht.

Toen de koning eindelijk het principe van exponentiële groei begreep, zag men op zijn voorhoofd een frons die merkwaardig veel deed denken aan de frons die Al-Khwarizmi al een paar maanden lang onafscheidelijk boven de ogen droeg.

Verontrust schoof de koning zijn pion naar het 51-ste vakje van zijn schaakbord. Het nieuwjaarsdiner stond weer voor de deur. Sessa, die begreep dat de koning zijn lesje had geleerd, stond op het punt om te vertrekken. Tijdens de laatste week van zijn verblijf aan het Perzische hof zou hij nog 36.940 pakhuizen aan zijn indrukwekkende graanvoorraad toevoegen. De pion van de koning zou op veld 52 blijven staan. Na het nieuwjaarsdiner vertrok Sessa. Hij was in totaal 73.880 pakhuizen rijker. Meer dan de helft van de honderdduizend pakhuizen stonden nu op zijn naam.

De koning en Al-Khwarizmi keken elkaar opgelucht aan. Als de gast nog één week langer was gebleven, dan zou een staatsfaillisement onvermijdbaar zijn geweest.

En Sessa leefde nog lang en gelukkig.

Noviomagus

We hadden er al vaak grapjes over gemaakt: van Nijmegen naar de Neumagen. Vier jaar lang heb ik heen en weer gependelt; van Ede naar Nijmegen en weer terug. En nu steek ik bij iedere wandeling naar het station of naar de kerk de Neumagen over: het kleine beekje dat vanuit het Zwarte Woud door het park naast ons huis naar de Rijn stroomt. Soms is het een kolkende beek, meestal een gezellig stroompje; en heel af en toe staat de bedding droog, als het erg warm is in de zomer.

Maar hebben die twee nu iets met elkaar te maken? Onlangs is er een nieuw informatiebord geplaatst naast de Neumagen, met verhalen over landschap, natuur en geschiedenis. En daar kwam ook de naam ter sprake. Die kwam van het latijnse Noviomagus, wat “nieuwe velden” of “nieuwe markt” betekent. En tussen neus en lippen door werd daarbij ook even verwezen naar het ons welbekende Nijmegen. Want ook die stad heeft een naam die afgeleid is van Ulpia Noviomagus Batavorum. Nu waren er vroeger heel wat Romeinse nederzettingen met Noviomagus in de naam. Zie bijvoorbeeld deze lijst op Wikipedia. Maar meestal is daar niets meer van terug te zien in de naam. Behalve dus bij Nijmegen en de Neumagen.

Witruimte

In The Crystal Goblet zet Beatrice Warde uiteen wat heldere typografie en drukkunst inhoudt. Het opstel ontleent zijn naam aan het voorbeeld van een wijnglas. Twee kenmerken zijn voor wijnglazen karakteristiek: (i) ze hebben een kelk op een relatief hoge steel, en (ii) ze zijn over het algemeen saai. Warde betoogt dat juist hierdoor het een goed ontworpen wijnglas is. Het glas trekt de aandacht niet naar zichzelf maar laat de fonkelende wijn schitteren in de eenvoudige glazen kelk. Doordat men het glas bij de steel vasthoudt wordt de kelk niet door vingerafdrukken besmeurd, en het zicht op het edele vocht niet vertroebeld. Tot zover de toepassingen van de oenologie op de typografie: goede typografie is saai, en vestigt niet de aandacht op zichzelf, maar op de inhoud van de tekst.

Door de tijd heen hebben vele typografen nadruk gelegd op het belang van witruimte. Witruimte stelt de typograaf in staat om informatie te organiseren in alineas, tabellen en kolommen. Basaal gezegd is goede typografie het treffen van een juiste balans tussen het wel en niet aanbrengen van inkt op het papier. Edward Tufte laat in verschillende van zijn werken stapsgewijs zien hoe tabellen en grafieken substantieel verbeterd kunnen worden door inkt weg te laten. Veel boeken hebben een grotere ondermarge dan bovenmarge, omdat men meestal onderaan het boek vasthoudt. Functionele witruimte. Een ander bekend voorbeeld van effectieve witruimte is de homepage van Google: een helder logo en een zoekveld. Voor de bezoeker is meteen duidelijk wat de bedoeling is.

Goethe schreef: “In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister, und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.” (In de beperking toont zich de meester, en alleen de wet kan ons vrijheid geven.) Binnen de typografie zijn het de beperkingen van Warde en Tufte die de vrijheden van elegante typografie in het vooruitzicht stellen. Tegelijkertijd zei Picasso: “Leer de regels als een meester, om ze te kunnen overtreden als een kunstenaar.” Zo gezegd, zo gedaan. En in dezelfde geest is er een Oosterse wijsheid die zegt: “Leer de regels uitstekend beheersen, om ze vervolgens effectief te kunnen overtreden.”

Een prachtig voorbeeld hiervan is een verhaal in Alice in Wonderland over een muizenstaart, dat typografisch heen en weer slingert over de bladspiegel, in de vorm van een: muizenstaart. Alle standaardregels van de typografie worden genegeerd, en toch is dit een creatief en effectief gebruik van witruimte! Met name poëzie leent zich goed voor dit spelen met de regels. Een prachtige illustratie hiervan vonden we in een adventskalender voor de deur van ons appartement. Hieronder plaats ik een eigen vertaling uit het Duits naar het Nederlands. Martinus Nijhoff zou zeggen: “Lees maar, er staat niet wat er staat.”

Øllebølle

Uuuuhh? Uhllebuhlle? Wablief? Een vriend uit de gemeente vertelde enthousiast over een echt Nederlandse lekkernij die hij zich herinnerde van een vakantie “rond Sylvester” aan de Noordzeekust. Aha. Wie Sylvester is mag Joost weten, maar onze beste vriend bedoelt natuurlijk gewoon oliebollen.

Dat oliebollen gewoon in olie gebakken deegbolletjes zijn was nog niet tot hem doorgedrongen. Dat “Øll” in øllebølle, dat heeft vast met “oud” te maken. En dan zijn dat vast bolletjes die je eet om oud-en-nieuw te vieren. Net als nieuwjaarskoeken. Ja dat klopt, maar het woord zit toch net even anders in elkaar.

Nog zoiets leuks. Onlangs was er iemand die vol enthousiasme vertelde dat hij die Nederlandse Goeda kaas zo lekker vindt. Elke keer als ze naar Zeeland op vakantie gaan om te genieten van zee en strand en “doenen”, dan smullen ze ook van Goeda-kaas. Waarop wij vroegen: “Zijn jullie dan ook al eens naar de kaasmarkt in Gouda geweest?” Hij staarde ons vol onbegrip aan. Dat er op anderhalf uur rijden van hun vakantieoord een stad was die vernoemd is naar die heerlijke kaas (uhh, wacht, andersom natuurlijk) dat was nog nooit in hem opgekomen. Mocht u volgend jaar een Duitse toerist met een grote glimlach en een paar kilo kaas door Gouda zien lopen, doe hem dan de groeten van ons.

De kool en de geit sparen

Vandaag is er gepuzzeld. Veel gepuzzeld. Een boer heeft in het bos een wolf gevangen. Die kan hij mooi verkopen op de markt in de stad. En als hij toch naar de stad gaat, kan hij eigenlijk ook meteen een van zijn geiten meenemen. “En waarom ook niet een grote zak vol bloemkolen?” denkt de boer bij zichzelf. Zo gezegd, zo gedaan. De boer gaat op pad.

Als hij bijna bij de stad is komt hij bij een rivier, waar een kleine roeiboot aan de oever ligt. Tot zijn schrik merkt de boer dat hij niet al zijn bagage in het bootje naar de overkant kan vervoeren. Hij kan slechts één ding tegelijk naar de overkant varen. Ofwel de wolf, ofwel de geit, of wel de kolen.

Tegelijkertijd bedenkt de boer dat hij de wolf en de geit niet alleen kan laten, want anders is er geen geit meer over. Eveneens kan de geit niet alleen gelaten worden met de bloemkolen. Anders is het: einde bloemkool. Kan de boer al zijn spullen naar de overkant brengen, en de kool en de geit sparen?

Onderaan deze website wordt een oplossing gegeven. Maar ik moedig u aan om eerst zelf even naar een oplossing te zoeken.

Voor de grap heb ik dit puzzeltje uitgelegd aan de computer. Ik gebruik voor mijn werk op de universiteit soms een programma dat wiskundige bewijzen tot in alle detail kan controleren. Dit programma kunt u ook via internet gebruiken, maar het is helaas wel wat trager dan wanneer het als geïnstalleerd programma wordt gebruikt. Als u dit wilt uitproberen dan moet u

  • Naar tinyurl.com/wolf-geit-kool gaan.
  • Ruim 30 seconden wachten.
  • Bovenaan het scherm staat een oranje balk. Als die balk groen wordt, dan is het programma klaar voor gebruik.
  • U ziet een website met twee schermen. In het linkerscherm staat heel veel onleesbare tekst. U moet helemaal naar beneden scrollen.
  • Als u naar beneden hebt gescrolled legt de tekst uit waar u uw cursor moet plaatsen. In het rechterscherm wordt de voortgang van de puzzel getoond. (Normaliter staat hier de voortgang van een bewijs.)
  • U kunt met de commandos “vervoer wolf”, “vervoer geit”, “vervoer kool” en “vervoer niets” vertellen wat de boer moet doen. Deze commandos moeten worden gescheiden door kommas, en mogen op verschillende regels staan.
  • Zie verder ook de uitleg in de groene tekst.

Als u de oplossing wilt zien die ik met Hannah, Boaz en Judith in elkaar heb geknutseld, dan moet u verder naar beneden scrollen.


Hier volgt onze oplossing.

De sprong van Vieta

Zoals aangekondigd zit ik zonder wifi bovenop een Alpentop. En toch een blogpost. Omdat ik er eentje in de wachtrij heb gezet. Houd u vast. Dit wordt een lange zit. Het is tenslotte vakantie.

Ieder jaar wordt de internationale wiskunde olympiade georganiseerd, waar middelbare scholieren door het oplossen van wiskundeproblemen kunnen strijden om eeuwige roem (-; De wedstrijd duurt twee dagen. Beide dagen krijgen de deelnemers 3 puzzels voorgeschoteld, en hebben ze vier-en-een-half uur de tijd om die puzzels op te lossen. Een perfecte score is uitzonderlijk, en erg zeldzaam.

Een puzzel

Vandaag wil ik jullie iets vertellen over de zesde opgave van de wedstrijd van 1988. De zesde opgave is altijd de lastigste opgave, en de opgave die we nu bekijken is zelfs berucht om zijn moeilijkheid. (Ik geef meteen toe dat ik de opgave niet zelf heb opgelost zonder te spieken.) Verscheidene professionele wiskundigen kregen de opgave voorgeschoteld, maar konden deze harde noot niet binnen 6 uur kraken.

De opgave: Laat $a$ en $b$ twee gehele getallen zijn, met $a \ge 0$ en $b \ge 0$. Stel dat $(a \cdot b + 1)$ een deler is van $a^2 + b^2$. Dan is $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ een kwadraat.

Met andere woorden: Als de breuk $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ gelijk is aan een of ander geheel getal $k$, dan bestaat er een geheel getal $d$ zodat $k = d^2$.

Als u deze puzzel wilt oplossen zonder verdere tips, dan moet u nu stoppen met lezen.


Het plaatje

Om een beetje gevoel voor het probleem te krijgen, toon ik u nu de grafiek van $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$.

Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd met Gnuplot]

Een eerste opmerking: In de opgave kijken we naar gehele getallen $a$ en $b$. In deze grafiek worden de waarden voor alle $a$ en $b$ op de getallenlijn getoond. Anders zouden we alleen een losse verzameling punten zien. Vanaf nu kijken we alleen nog maar naar punten $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.

De grafiek is dus enorm stijl dicht bij de assen, en heel erg vlak verder bij de assen vandaan. Er is ook een bepaalde symmetrie. Dat is niet toevallig, want de formule is ook symmetrisch in $a$ en $b$. Dus de waarde bij $(a,b)$ is gelijk aan de waarde bij $(b,a)$. Vanwege deze symmetrie mogen we in de opgave aannemen dat $a \le b$ geldt. Zo niet: dan verwisselen we $a$ en $b$ gewoon.

De gekleurde lijnen in het vlak op de bodem van de afbeelding zijn zogeheten contourlijnen. De rode lijn bestaat precies uit alle punten $(a,b)$ waarvoor $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = 4$ geldt. Zoals te zien in het plaatje bestaat iedere contourlijn uit twee losse stukken. Een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a < b$ geldt, en een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a > b$ geldt.

Dat klopt niet helemaal. Er zijn natuurlijk ook nog de punten $(a,b)$ waarvoor $a = b$ geldt. Dat is de diagonaal in het vlak. Laten we eens kijken wat er bij die punten gebeurt. Dan geldt $\frac{a^2 + a^2}{a \cdot a + 1} = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = k$. Dus $2a^2 = k \cdot (a^2 + 1) = k \cdot a^2 + k$. De waarden in de grafiek zijn positief, dus $k$ is positief. De enige manier waarop deze gelijkheid kan gelden is als $k = 1$. En… $1$ is een kwadraat. Dus voor de punten $(a,a)$ op de diagonaal is de opgave waar.

Aan de slag

Goed. Dan kunnen we nu terug gaan naar de punten $(a,b)$ met $a \ne b$, die dus niet op de diagonaal liggen. De opgave zegt dat als $a$ en $b$ gehele getallen zijn, en op de contourlijn van waarde $k$ liggen, dan is $k$ een kwadraat. Met andere woorden: Als $k$ geen kwadraat is, dan mag de contourlijn van $k$ dus geen enkel “gridpunt” bevatten. (Met een “gridpunt” bedoel ik een punt $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.)

Laten we dat dus maar proberen te doen. Neem een getal $k$, en bekijk de contourlijn van $k$. Zoals gezegd bestaat die uit twee delen. Het deel $H$ (hoog) van punten $(a,b)$ met $a < b$, en het deel $L$ (laag) van punten $(a,b)$ met $a > b$.

Twee gevallen

Nu gaan we een slimme truc toepassen. Dat gaat als volgt. Stel dat er een gridpunt $(a,b)$ bestaat in $H$, dus met $a < b$. Nu moeten we twee gevallen bekijken. Het geval $a = 0$, en het geval $a > 0$. Voordat we die gevallen bekijken, leg ik eerst uit wat de strategie is. In het geval $a = 0$ laten we zien dat $k$ een kwadraat is. En dus zijn we klaar. De opgave is voor dat geval bewezen.

In het andere geval, met $a > 0$ gaan we een nieuw gridpunt bouwen, zeg $(c,d)$, met de volgende eigenschappen: het punt $(c,d)$ ligt ook op $H$, en $d < b$. We hebben dan dus een nieuw gridpunt op $H$ met een kleinere $y$-coördinaat dan het oude punt. Nu kunnen we voor dit nieuwe punt weer de twee gevallen bekijken: ofwel $c = 0$, ofwel $c > 0$. Als $c = 0$ dan volgt opnieuw dat $k$ een kwadraat is. Als $c > 0$, dan kunnen we een nieuw gridpunt bouwen met een lagere $y$-coördinaat en… het proces herhaalt zich.

Maar het proces moet wel een keer stoppen! Want voor de punten $(x,y)$ op $H$ geldt $x < y$. En we vinden telkens een nieuw punt met een lagere $y$-coördinaat. Dus de $x$-coördinaat wordt ook steeds kleiner. Daarom moeten we na eindig veel stappen een keer een gridpunt vinden met $x = 0$. Zoals beloofd, is de opgave dan bewezen.

Terug naar ons oorspronkelijke punt $(a,b)$. Nu moeten we dus nog twee dingen doen: als $a = 0$ moeten we laten zien dat $k$ een kwadraat is, en als $a > 0$ dan moeten we een nieuw punt op $H$ maken met een kleinere $y$-coördinaat.

Stel dat $a = 0$. Dan zegt onze vergelijking $\frac{0^2 + b^2}{0\cdot b + 1} = k$. Oftewel $b^2 = k$. En, inderdaad. We zien dat $k$ een kwadraat is.

De sleutelsprong

Op naar het volgende geval. Stel dat $a > 0$. We moeten een gridpunt $(c,d)$ maken dat op $H$ ligt, dus $\frac{c^2 + d^2}{c \cdot d + 1} = k$ en $c < d$. Daarnaast willen we ook dat de $y$-coördinaat kleiner wordt, dus $d < b$.

Omdat ons punt $(a,b)$ op $H$ ligt, geldt $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = k$. Dat kunnen we omschrijven naar $a^2 + b^2 = k \cdot (a \cdot b + 1)$. Die vergelijking kunnen we nog weer een beetje verder omschrijven naar $$b^2 – (a \cdot k) \cdot b + (a^2 – 1). \qquad (\star)$$

We zien dus dat $b$ een nulpunt is van de parabool $f(X) = X^2 – (a \cdot k) \cdot X + (a^2 – k)$. Kies nu het punt $c = a \cdot k – b$. Met een klein beetje rekenwerk zien we dat $g(X) = (X – b) \cdot (X – c) = X^2 – (b + c) \cdot X + (b \cdot c)$. Maar $b + c = a \cdot k$, en $$b \cdot c = b \cdot (a \cdot k – b) = a \cdot b \cdot k – b^2.$$ Over deze vergelijking kunnen we nog iets meer zeggen. Want we weten hebben ook vergelijking $(\star)$. Door deze twee vergelijkingen te combineren, vinden we $b \cdot c = a^2 – k$.

Dat is bijzonder! Dat betekent dat $f(X) = g(X)$, en dus dat $c$ ook een nulpunt is van de parabool $f(X)$. De twee formules $a \cdot k = b + c$ en $a^2 – k = b \cdot c$ staan bekend als de formules van Vieta. Dat is de Vieta uit de titel van deze blogpost. En nu komt de sprong van Vieta.

Omdat $c$ een nulpunt is van de parabool $f(X)$, weten we dat $$c^2 – (a \cdot k) \cdot c + (a^2 – k) = 0.$$ Dat kunnen we weer omschrijven naar $a^2 + c^2 = k \cdot (a \cdot c + 1)$, en dus naar $\frac{a^2 + c^2}{a \cdot c + 1} = k$. Met andere woorden: $(a,c)$ is een nieuw punt op de contourlijn van $k$! We zijn met de formules van Vieta naar een ander punt gesprongen.

Zoals gezegd bestaat de contourlijn van $k$ uit twee delen. Het deel $H$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x < y$ geldt. En het deel $L$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x > y$ geldt. Laten we nog een keer kijken naar een plaatje van de contourlijnen.

De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd door Gnuplot.]

In dit plaatje zijn de contourlijnen geprojecteerd op het vlak. We kunnen hier een interessante observatie doen. Als we een contourlijn kiezen (dus een gekleurde lijn in het plaatje), dan zijn er voor iedere $x$-coördinaat maar twee mogelijke punten op de contourlijn. Een punt onder de diagonaal, en een punt boven de diagonaal. (Dit is natuurlijk geen bewijs, maar deze blogpost is lang genoeg. In het bijzonder is het niet duidelijk dat het nieuwe punt boven de $x$-as ligt. Een puzzeltje voor de enthousiaste lezer…)

Het punt $(a,c)$ ligt dus op de contourlijn van $k$. En het heeft dezelfde $x$-coördinaat als het punt $(a,b)$. Dus weten we dat $(a,c)$ onder de diagonaal ligt. Met andere woorden, $a > c$, en dus ligt $(a,c)$ in $L$.

Nu gebruiken we de spiegelsymmetrie die we helemaal aan het begin hebben opgemerkt. Als $(a,c)$ op de contourlijn van $k$ ligt, dan ook $(c,a)$. Omdat we spiegelen in de diagonaal, ligt $(c,a)$ in $H$. Inderdaad: $c < a$.

En nu zijn we klaar. We moesten een nieuw punt $(c,d)$ maken dat in $H$ ligt en een kleinere $y$-coördinaat heeft dan $(a,b)$, dus $d < b$. Welnu, $(c,a)$ ligt in $H$, en heeft $y$-coördinaat $a$. En zoals gezegd geldt $a < b$, omdat het oorspronkelijke punt $(a,b)$ ook in $H$ ligt.

Einde bewijs. QED.

Als u tot hier hebt door gelezen: mijn complimenten! En een hele fijne vakantie toegewenst.

Weest gegroet

“Moin” — “Moin moin”

Zo groet men elkaar in Hamburg en omgeving. Maar dat moet je in het Zwarte Woud niet proberen. Dan kijken ze je heel raar aan. En in Beieren word je gewoon de deur uit gezet (als je de verhalen moet geloven). Maar wat moet je dan zeggen? “Mogguh” (met een lekker schrapende ‘g’) of “Hoi” begrijpen ze hier ook niet. “Guten Morgen” en “Auf wiedersehen” zijn een tikkie formeel. Die laatste heb ik volgens mij nog nooit iemand horen gebruiken. Gelukkig begrijpt men “Allo” wel, en laat je daarmee niet meteen merken dat je een vreemde buitenlander bent.

Een groet die veel gehoord wordt bij afscheid nemen is het eenvoudige “Tschüss!” Een andere groet die veel gebruikt wordt, bij komen en gaan is “Ciao”. Dit is een bekende groet in Italië, waar men bij het afscheid nemen inmiddels vaak minstens vier keer achter elkaar “Ciao!” zegt. Hier in Zuid-Duitsland is 1x nog voldoende. Enfin, velen kennen deze groet wel van vakanties in Frankrijk, Spanje, Italië, of andere zuidelijke streken.

Een groet die we nog nooit eerder gehoord hadden, en die we vaak moeilijk te verstaan vonden (waarschijnlijk omdat het zo onbekend is) is “Servus”. We vonden het ook een beetje verdacht… “servus”… “slaaf” in het latijn. Waarom zou men dat zeggen.

Onlangs heb ik besloten om maar eens uit te zoeken wat die groet nu precies is, en waar die vandaan komt. Blijkt dat het inderdaad afstamt van een latijnse groet: “servus humillimus, domine spectabilis” wat zoveel betekent als “meest nederige slaaf, meest nobele heer”. Oftewel, een uitgebreide versie van het Nederlandse “Tot uw dienst”. Met het verschil dat die groet in Nederland niet erg gangbaar is (of misschien schertsend gebruikt wordt). In Duitsland is het juist een uiterst informele groet. Als student moet je niet proberen om een professor met “Servus” te begroeten aan het begin van een college. Een tikkie ironisch, gezien de oorsprong van de groet.

En wat ik nog meer leerde: dat “Ciao” ook slaaf betekent in het Venetiaanse dialect. Het heeft dus dezelfde herkomst als “Servus”. Ik veronderstelde altijd dat het qua oorsprong gerelateerd was aan “A Dieu!” omdat het enigszins dezelfde klankkleur heeft. Daar zat ik dus mooi naast.

Laat ik jullie dan nu groeten met “Goodbye!” — “God be by ye”.

Technische storing

“Neem contact op met uw systeembeheerder” — Tsjah, dat ben ik zelf… Misschien hebt u gemerkt dat er wat probleempjes waren met de weblog de afgelopen week. Die zijn inmiddels verholpen (als het goed is).

Deze website stond eerst op de server van een bedrijf waar ik wat webruimte huur. Maar dat bedrijf besloot om bepaalde dingen aan te passen, en daardoor werkten de websites niet meer goed. Nu was ik juist twee weken geleden weer eens aan de slag gegaan met mijn eigen server atarrimbo die in onze kelder staat te zoemen. (Een prachtig beestje: 16 processor-draadjes, 24GB RAM.) Vorige zomer heeft mijn fantastische zwager noch geholpen om die server aan het internet te hangen.

Enfin, ik heb dus besloten om de hele weblog (en ook mijn wiskunde-website waar al mijn artikelen &c opstaan) te verhuizen naar atarrimbo. Zo gezegd, zo gedaan. Na een avondje zweten en hoofdbrekens zijn alle databases en PHP-scripts verhuisd; de juiste pakketjes geïnstalleerd; alle instellingen aangepast en DNS records omgezet.

Bijkomend voordeel: de weblog wordt nu eindelijk via https opgediend (zie het kleine groene slotje in de adresbalk). Dus u kunt nu met een gerust hart onze verhaaltjes lezen en plaatjes bekijken. Boeven kunnen niet meer zomaar de inhoud van de website aanpassen terwijl die met lichtsnelheid over het grote boze web van atarrimbo naar uw computer surft.

Om voorlopig weer van de kopzorgen af te zijn heb ik ook meteen maar een pagina met ons privacybeleid aangemaakt. Daarin wordt haarfijn uitgelegd dat uw reacties op onze blogposts worden opgeslagen op onze website. Mocht u dat niet believen, dan kunt u contact opnemen met ondergetekende, en dan worden uw reacties grondig uit het systeem verwijderd.

Met vriendelijke groeten,

Johan Commelin
Systeembeheerder