(t)Shah

Misschien heeft u de afgelopen weken over “exponentiële groei” gehoord in het nieuws. Het is belangrijk om te begrijpen wat dit betekent.


Een sprookje over exponentiële groei

Er was eens… héél lang geleden… in een land hier vér vandaan, een wijze die Sessa heette. Op een dag begon Sessa aan een lange reis naar het hof van het naburige Perzië, om daar een kalenderjaar als privéleraar van de jonge prinsen door te brengen. Omdat Sessa zich onderweg wat verveelde, besloot hij een nieuw bordspel te ontwerpen. Hij verdeelde een vierkant spelbord in acht rijen en acht kolommen, en plaatste daarop speelstukken: een koning, een koningin en de vier klassieke Aziatische legereenheden: voetvolk, ruiters, olifanten, en strijdwagens. Toen Sessa in Perzië aankwam, werd hij royaal ontvangen aan het hof. Nadat hij zich had opgefrist mocht hij tijdens het nieuwjaarsdiner op audiëntie gaan bij de vorst. Om de koning te vermaken besloot hij zijn nieuwe bordspel uit te leggen. De koning (= Sheikh = Shah = Schaak), die erg in zijn nopjes was met dit spel, besloot om dit nieuwe tijdverdrijf naar zichzelf te vernoemen, en ter compensatie deed hij Sessa het volgende voorstel:

“Zeg mij, hooggeleerde Sessa, hoe kan ik u belonen. Wat u mij ook vraagt, ik zal het u geven. Al is het de helft van mijn koninkrijk!”

De wijze Sessa besloot dat hij de vorst nog een tweede les zou leren, na deze succesvolle schaakles, en hij antwoordde minzaam en arglistig:

“O, hooggeëerde vorst! Ik wens u een lang leven toe. Ik wil u niet tot last zijn. Schenk mij toch vandaag op het eerste speelveld van het schaakbord een graankorreltje. Schenk mij over een week op het tweede speelveld twee graankorreltjes; schenk mij nog een week later op het derde speelveld vier graankorreltjes; en vervolgens zo iedere week het dubbele aantal graankorreltjes van de week daarvoor. Dat zal dit jaar mijn loon zijn.”

De koning lachte, en verzocht terstond een kamerdienaar om de eerste graankorrel te laten bezorgen. Even later werd op een zilveren schotel een prachtige goudgele graankorrel binnengedragen, die Sessa dankbaar en zorgvuldig aannam en in zijn buidel opborg.

Een week later werd Sessa opnieuw in de troonzaal geroepen. Terwijl de koning glimlachend toekeek, pakte Sessa twee graankorrels van de zilveren schotel en borg ze in zijn buidel op. Zeven dagen later nam hij vier graankorrels in ontvangst, en de week daarna waren het acht graankorrels. Sessa merkte geïnteresseerd op dat de kamerdienaar licht gefronste wenkbrauwen had.

Omdat wij ons minder vervelen dan Sessa op zijn reis naar Perzië, maken we nu even een sprongetje in de tijd. Tien weken nadat Sessa het schaakspel aan de koning had uitgelegd, lagen er ruim duizend graankorreltjes op de grote zilveren schotel. Om precies te zijn: 1024. Nog acht weken later bleef de fronsende kamerdienaar die de zilveren schotel gedragen had afwachtend bij de troon staan. Toen de koning dit opmerkte vroeg hij: “Al-Khwarizmi, ik zie al tijden een frons op uw voorhoofd. Wilt u mij iets zeggen?”. De knecht antwoordde nederig: “O, hooggeëerde koning. Met uw welnemen, ik weet niet of volgende week de graankorrels nog wel op de zilveren schotel passen.” Waarop de vorst glimlachend antwoordde: “Mijn beste Al-Khwarizmi, dan gebruiken we vanaf nu toch twee zilveren schotels?”

Laten we even een kort uitstapje maken, om te begrijpen wat het probleem van Al-Khwarizmi was. Iedereen weet dat ze er in Engeland van houden om gekke maten en gewichten te gebruiken: ponden, inches, voeten, mijlen, enzovoorts. Een van die gewichten is de grain: een gewichtsmaat die gelijk is aan het gemiddelde gewicht van een graankorrel. Dus een zakje met 1000 graankorrels, weegt ongeveer 1000 grain. Omgerekend naar onze “normale” SI-eenheden is 1 grain gelijk aan 64.79891 mg. Dus dat zakje met 1000 graankorrels weegt ongeveer 65 gram. Niet zo heel veel dus. Een zak met 10.000 graankorrels weegt ongeveer 648 gram. Dat is ongeveer een melkpak vol, want 1 liter graan weegt ongeveer 790 gram.

In week 18 moest die arme Al-Khwarizmi een zilvere schotel met 262.144 graankorrels naar Sessa dragen. Dat is bijna 17 kilogram, en ongeveer 21,5 liter. Dat gaat een week later inderdaad niet op één zilveren schotel passen. Hieronder staat een tabel die weergeeft hoeveel graan Sessa krijgt tot en met week 20.

WeekAantalkgl
0 100.00006500.000082
1 200.00013000.000164
2 400.00025900.000328
3 800.00051800.000656
4 1600.00103700.001312
5 3200.00207400.002625
6 6400.00414700.005250
7 12800.00829400.010499
8 25600.01658900.020998
9 51200.03317700.041996
10 102400.06635400.083993
11 204800.13270800.167985
12 409600.26541600.335970
13 819200.53083300.671940
14 1638401.06166501.343880
15 3276802.12333102.687760
16 6553604.24666105.375521
17 13107208.49332310.751041
18 26214416.98664521.502083
19 52428833.97329143.004166
20104857667.94658286.008331

De koning realiseerde zich al snel dat zijn opmerking richting Al-Khwarizmi een beetje naief was. In week 19 waren twee zilveren schotels inderdaad voldoende om het graan naar de kruiwagen van Sessa te dragen. Maar in week 20 kreeg Sessa wel 86 liter graan, en daarvoor waren toch zeker 4 zilveren schotels nodig! En in week 21, kreeg Sessa natuurlijk tweemaal zoveel, dus 8 zilveren schotels boordevol met goudgeel graan.

Nu moeten we niet vergeten dan een schaakbord 8 rijen en 8 kolommen heeft. Dat zijn dus in totaal 64 speelvelden. Al-Khwarizmi, die een paar jaar later de grondlegger van de algebra zou worden, begon zich toch een beetje zorgen te maken. Maar toen hij daarover tegen de koning begon, lachte die zijn zorgen weg. “Kom, kom, oude Al-Khwarizmi. Je wilt toch niet zeggen dat de vorstelijke graanpakhuizen ook maar iets zullen merken van dit komische spelletje? Zeg me eens, wat is de jaarlijkse graanproductie van ons machtige Perzische wereldrijk?”

Helaas zijn de overleveringen er niet heel duidelijk over wat het antwoord van Al-Khwarizmi was. Maar we kunnen een grove schatting maken. In het jaar 2019 werd wereldwijd ongeveer 780 miljoen ton graan geproduceerd. Dat is dus 780.000.000.000 kilogram. Laten we royaal zijn, en zeggen dat de Perzen, als echte landbouwkundige experts, ieder jaar ongeveer 790 miljoen ton graan in de graanpakhuizen van Sheikh Shah opsloegen. Voor het gemak gaan we ervan uit dat een pakhuis ongeveer het formaat 20m × 50m × 10m heeft, zodat er 10.000.000 liter in past. Per pakhuis is dat dus 7.900.000 kilogram graan, ofwel 7.900 ton goudgele korreltjes. Dat betekent dat er in totaal 100.000 pakhuizen waren. Dat is natuurlijk een beetje veel, maar we hadden besloten om gul te zijn. Duidelijk is dat 8 zilveren schotels met 17 kilogram graan daarbij volledig in het niet vallen.

Na het mompelende antwoord van Al-Khwarizmi, stuurde de koning hem ietwat geïrriteerd weg. “Hoe durf je te twijfelen aan de gulheid van een Perzische vorst!” Zijne majesteit schoof een pion naar het 22-ste vakje van zijn schaakbord.

In week 25 bevorderde de koning Al-Khwarizmi tot minister van landbouw en directeur van PerziPost. Zijn eerste instructie was om bijna 3 kubieke meter graan bij het gastenverblijf van Sessa te bezorgen. Zes weken later was het pionnetje van de koning halverwege de lange reis van het eerste vakje van het schaakbord naar speelveld 64. Bij Sessa voor de deur stond een grote karavaan. Vierentwintig olifanten trokken samen zes grote zeecontainers met graan naar het appartement van de wijze spelontwikkelaar. Die week kreeg Sessa ongeveer 140 ton graan. Dat is een kleine 2% uit één van die 100.000 pakhuizen, want in ieder pakhuis passen ongeveer 303 zeecontainers.

In week 37 vroeg Al-Khwarizmi aan de koning om permissie om een volledig pakhuis op naam van de wijze Sessa te stellen. “Hoeveel pakhuizen hadden we in totaal? U weet dat ik hem beloofd heb dat hij alles mocht vragen. Al was het de helft van mijn koninkrijk! Wat is nu een pakhuis, vergeleken met de 100.000 pakhuizen die we rijk zijn. Dat is nog geen 1%, als ik me de rekenlessen van vroeger goed herinner.” Behalve het pakhuis, kreeg Sessa ook nog 38,5 zeecontainers.

In week 40 kreeg Sessa negen koninklijke graanpakhuizen cadeau, omdat hij 9 maanden geleden een bordspelletje had uitgelegd aan de vorst van Perzië. Het was begonnen met 1 graankorreltje. Tien weken later waren het ongeveer duizend graankorreltjes geweest (om precies te zijn, 1024). In week 37 kreeg Sessa 1 graanpakhuis. In week 47 kreeg hij ongeveer 1000 graanpakhuizen (om precies te zijn 1154).

De koning begon zich nu persoonlijk met de zaak te bemoeien. Om te beginnen liet hij zorgvuldig alle berekeningen controleren. Al-Khwarizmi herhaalde langzaam zijn methode voor de vorst, en merkte daarbij op dat hij het wel gepast vond om dit een algorithme te noemen. Het bordspel was tenslotte vernoemd naar de koning, dan mocht de uitvoering van de beloning wel vernoemd worden naar diens knecht.

Toen de koning eindelijk het principe van exponentiële groei begreep, zag men op zijn voorhoofd een frons die merkwaardig veel deed denken aan de frons die Al-Khwarizmi al een paar maanden lang onafscheidelijk boven de ogen droeg.

Verontrust schoof de koning zijn pion naar het 51-ste vakje van zijn schaakbord. Het nieuwjaarsdiner stond weer voor de deur. Sessa, die begreep dat de koning zijn lesje had geleerd, stond op het punt om te vertrekken. Tijdens de laatste week van zijn verblijf aan het Perzische hof zou hij nog 36.940 pakhuizen aan zijn indrukwekkende graanvoorraad toevoegen. De pion van de koning zou op veld 52 blijven staan. Na het nieuwjaarsdiner vertrok Sessa. Hij was in totaal 73.880 pakhuizen rijker. Meer dan de helft van de honderdduizend pakhuizen stonden nu op zijn naam.

De koning en Al-Khwarizmi keken elkaar opgelucht aan. Als de gast nog één week langer was gebleven, dan zou een staatsfaillisement onvermijdbaar zijn geweest.

En Sessa leefde nog lang en gelukkig.

Eén gedachte over “(t)Shah”

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *