De kool en de geit sparen

Vandaag is er gepuzzeld. Veel gepuzzeld. Een boer heeft in het bos een wolf gevangen. Die kan hij mooi verkopen op de markt in de stad. En als hij toch naar de stad gaat, kan hij eigenlijk ook meteen een van zijn geiten meenemen. “En waarom ook niet een grote zak vol bloemkolen?” denkt de boer bij zichzelf. Zo gezegd, zo gedaan. De boer gaat op pad.

Als hij bijna bij de stad is komt hij bij een rivier, waar een kleine roeiboot aan de oever ligt. Tot zijn schrik merkt de boer dat hij niet al zijn bagage in het bootje naar de overkant kan vervoeren. Hij kan slechts één ding tegelijk naar de overkant varen. Ofwel de wolf, ofwel de geit, of wel de kolen.

Tegelijkertijd bedenkt de boer dat hij de wolf en de geit niet alleen kan laten, want anders is er geen geit meer over. Eveneens kan de geit niet alleen gelaten worden met de bloemkolen. Anders is het: einde bloemkool. Kan de boer al zijn spullen naar de overkant brengen, en de kool en de geit sparen?

Onderaan deze website wordt een oplossing gegeven. Maar ik moedig u aan om eerst zelf even naar een oplossing te zoeken.

Voor de grap heb ik dit puzzeltje uitgelegd aan de computer. Ik gebruik voor mijn werk op de universiteit soms een programma dat wiskundige bewijzen tot in alle detail kan controleren. Dit programma kunt u ook via internet gebruiken, maar het is helaas wel wat trager dan wanneer het als geïnstalleerd programma wordt gebruikt. Als u dit wilt uitproberen dan moet u

  • Naar tinyurl.com/wolf-geit-kool gaan.
  • Ruim 30 seconden wachten.
  • Bovenaan het scherm staat een oranje balk. Als die balk groen wordt, dan is het programma klaar voor gebruik.
  • U ziet een website met twee schermen. In het linkerscherm staat heel veel onleesbare tekst. U moet helemaal naar beneden scrollen.
  • Als u naar beneden hebt gescrolled legt de tekst uit waar u uw cursor moet plaatsen. In het rechterscherm wordt de voortgang van de puzzel getoond. (Normaliter staat hier de voortgang van een bewijs.)
  • U kunt met de commandos “vervoer wolf”, “vervoer geit”, “vervoer kool” en “vervoer niets” vertellen wat de boer moet doen. Deze commandos moeten worden gescheiden door kommas, en mogen op verschillende regels staan.
  • Zie verder ook de uitleg in de groene tekst.

Als u de oplossing wilt zien die ik met Hannah, Boaz en Judith in elkaar heb geknutseld, dan moet u verder naar beneden scrollen.


Hier volgt onze oplossing.

“Waarom staan die stenen daar?”

Als we met onze kinderen op pad zijn in het bos, bij een rivier of in de bergen, moet er altijd van alles verzameld worden. Vogelveren, stoere takken, kastanjes en eikels, en ook stenen. De meeste verzamelde bijzonderheden verdwijnen na een poosje geruisloos uit ons huis, om te voorkomen dat we ondergesneeuwd raken. Maar de stenen hadden inmiddels een aardig hoopje gevormd op ons terras. Tijd om er weer eens iets mee te doen, nadat we er al ’s een aantal hebben beschilderd en andere gediend hebben om onze speeltent op z’n plek te houden tijdens een bijna-storm.

Zondag hielden we een Bijbelmoment met onze stenen, gekoppeld aan het verhaal uit Jozua 4 waar de Israëlieten de Jordaan oversteken en als herinnering aan Gods wonderen een gedenkteken oprichten met twaalf grote stenen. Hanna Lam heeft er een treffend liedje over geschreven: “Waarom staan die stenen daar? (…) Het is een verhaal, luister ik vertel het je allemaal!”

Ook voor ons als gezin is het natuurlijk goed om af en toe weer terug te denken aan momenten waarop we bijzonder Gods hulp hebben ervaren, of dingen waarin Hij ons bijzonder gezegend heeft. Dus pakten we onze stenen erbij en schreven er verschillende dingen op: De Heere gaf ons een fijn huis, school en kerk in Bad Krozingen. Dat was bepaald niet vanzelfsprekend, en dus een goede reden tot dankbaarheid. We zijn allemaal gezond en kunnen ons (school)werk doen. Wat verder terug: we kregen drie gezonde kinderen. Bij de doop beloofde God dat Hij ook hun God en Vader wil zijn. Nog verder terug, alweer 12,5 jaar: de Heere bracht een jongen en een meisje met een nogal verschillende levensgeschiedenis bij elkaar in een vwo-klas in Kampen… Hannah snapte ‘m meteen, dat waren papa en mama 😉 Voor haar is het natuurlijk volkomen logisch dat Johan en ik “bij elkaar horen”, maar als je bedenkt hoe verschillend ons leventje tot ons 15e was, is het best speciaal dat we elkaar tegengekomen zijn. Ik woonde vanaf mijn geboorte op hetzelfde adres, ging in hetzelfde dorp naar school en kerk, had al mijn familie daar… Johan had alleen al 6 basisscholen gehad, in verschillende werelddelen gewoond, had helemaal geen familie in Overijssel wonen – maar kwam uiteindelijk toch op de Pieter Zandt terecht, net als ik. Gelukkig maar 🙂 We concludeerden samen dat we nog geen dag spijt hebben gehad van onze relatie, dus ook dat was een steentje waard.

Ik vond het mooi om te horen dat er ook andere dingen genoemd werden: “Dat de Heere bij ons is”. “Dat iedereen die in God gelooft, eeuwig leven krijgt”. “Dat de Heere goed is”. Ook dat zijn stenen die als een onmisbaar fundament onder ons leven liggen, en die het waard zijn om steeds opnieuw bekeken te worden zodat we ervoor kunnen danken. Aan ons als ouders de taak om erover te vertellen, zodat ook onze kinderen vertrouwd raken met Gods wonderen en Zijn karakter leren kennen.

Weer helemaal thuis

We hebben onze twee weken vakantie er helaas weer op zitten, en zijn vanmorgen vies vroeg richting huis vertrokken. Het doel daarvan was om files te vermijden, en dat is gelukt! Vóór koffietijd ’s morgens waren we thuis, en dus moest er als eerste een heerlijk kopje chocolademelk gemaakt worden.

Maar toch was het nog niet als vanouds. Hannah keek eens keurend rond: “Het ruikt hier een beetje raar. Net als toen we gingen verhuizen”. Snel de ramen open dus. Maar nog steeds stonden de planten niet op hun normale plek, en alles was zo… leeg! Zo… netjes! Dat voelde kennelijk kaal en ongezellig. Gelukkig hadden we de dag nog voor ons, en was er genoeg tijd om alle tassen in de gang te parkeren, de was in grote hopen te sorteren, de meegebrachte boodschappen op tafel uit te stallen en één en ander aan speelgoed voor de dag te trekken. Toen ik ’s avonds ook nog had gekookt, constateerden we tevreden: “Dit is weer helemaal de keuken van mama”.

Om dat te begrijpen moet je de verhaaltjescd’s van Sofie gehoord hebben. Die zijn echt hilarisch herkenbaar – ze zijn bedoeld voor kinderen maar Johan en ik vinden ze ook leuk 🙂 Op één verhaaltje gaat de moeder van Sofie naar boven om de kamer van dochterlief op te ruimen. Haar spullen liggen overal in het rond, oude handdoeken vormen een geliefd hutje en een vies stokje blijkt het favoriete speelgoed van de knuffel dat écht niet weggegooid mag worden. Je moet waarschijnlijk zelf een kind in die leeftijd hebben om het probleem te snappen 😉 Toch zet de moeder door, en even later is alles weer netjes! Sofie vindt het maar wat handig dat ze nu al haar spullen zo makkelijk kan vinden. Ze gaat meteen aan de slag om voor de knuffel een ziekenhuisbedje te maken, papieren pillen te knippen [lees: de hele kamer overhoop te halen] en dan constateert ze tevreden: “Het is weer helemaal de kamer van Sofie!”.

Nou, dat gevoel heerst hier dus ook. Het aanrecht is weer een zooitje, er staan stukken knikkerbaan in verschillende stadia op de vloer, de laatste doos met knutselspulletjes en boeken moet nog worden opgeruimd, het wasrek op het terras hangt vol… We zijn weer helemaal thuis 🙂

Maar we hadden natuurlijk ook nog niet verteld hoe de vakantie was. Nou, het was heerlijk. We hebben twee weken lang in een groot huis gebivakkeerd waar af en aan mijn familie langskwam – en wij bleven als echte feestneuzen natuurlijk de volledige tijd 🙂 We hebben gewandeld, speeltuintjes bezocht, we zijn met kabelbanen de berg op geweest, de sportievelingen hebben rotsen beklommen… alles wat je in de Alpen kunt doen en thuis niet [of ook wel, maar op vakantie is het toch anders]. En het voordeel van zo’n familievakantie is natuurlijk dat je ook veel tijd hebt om spelletjes te doen, praatjes te maken en gewoon samen op te trekken. We zullen er nog wel een keer over uitwijden denk ik, maar voor nu alvast een paar foto’s:

Vader en dochter aan het klimmen
Dat kleine mannetje is Boaz 🙂
Vasthouden meisje! Ze is heel beneden gekomen 🙂

De sprong van Vieta

Zoals aangekondigd zit ik zonder wifi bovenop een Alpentop. En toch een blogpost. Omdat ik er eentje in de wachtrij heb gezet. Houd u vast. Dit wordt een lange zit. Het is tenslotte vakantie.

Ieder jaar wordt de internationale wiskunde olympiade georganiseerd, waar middelbare scholieren door het oplossen van wiskundeproblemen kunnen strijden om eeuwige roem (-; De wedstrijd duurt twee dagen. Beide dagen krijgen de deelnemers 3 puzzels voorgeschoteld, en hebben ze vier-en-een-half uur de tijd om die puzzels op te lossen. Een perfecte score is uitzonderlijk, en erg zeldzaam.

Een puzzel

Vandaag wil ik jullie iets vertellen over de zesde opgave van de wedstrijd van 1988. De zesde opgave is altijd de lastigste opgave, en de opgave die we nu bekijken is zelfs berucht om zijn moeilijkheid. (Ik geef meteen toe dat ik de opgave niet zelf heb opgelost zonder te spieken.) Verscheidene professionele wiskundigen kregen de opgave voorgeschoteld, maar konden deze harde noot niet binnen 6 uur kraken.

De opgave: Laat $a$ en $b$ twee gehele getallen zijn, met $a \ge 0$ en $b \ge 0$. Stel dat $(a \cdot b + 1)$ een deler is van $a^2 + b^2$. Dan is $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ een kwadraat.

Met andere woorden: Als de breuk $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ gelijk is aan een of ander geheel getal $k$, dan bestaat er een geheel getal $d$ zodat $k = d^2$.

Als u deze puzzel wilt oplossen zonder verdere tips, dan moet u nu stoppen met lezen.


Het plaatje

Om een beetje gevoel voor het probleem te krijgen, toon ik u nu de grafiek van $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$.

Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd met Gnuplot]

Een eerste opmerking: In de opgave kijken we naar gehele getallen $a$ en $b$. In deze grafiek worden de waarden voor alle $a$ en $b$ op de getallenlijn getoond. Anders zouden we alleen een losse verzameling punten zien. Vanaf nu kijken we alleen nog maar naar punten $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.

De grafiek is dus enorm stijl dicht bij de assen, en heel erg vlak verder bij de assen vandaan. Er is ook een bepaalde symmetrie. Dat is niet toevallig, want de formule is ook symmetrisch in $a$ en $b$. Dus de waarde bij $(a,b)$ is gelijk aan de waarde bij $(b,a)$. Vanwege deze symmetrie mogen we in de opgave aannemen dat $a \le b$ geldt. Zo niet: dan verwisselen we $a$ en $b$ gewoon.

De gekleurde lijnen in het vlak op de bodem van de afbeelding zijn zogeheten contourlijnen. De rode lijn bestaat precies uit alle punten $(a,b)$ waarvoor $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = 4$ geldt. Zoals te zien in het plaatje bestaat iedere contourlijn uit twee losse stukken. Een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a < b$ geldt, en een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a > b$ geldt.

Dat klopt niet helemaal. Er zijn natuurlijk ook nog de punten $(a,b)$ waarvoor $a = b$ geldt. Dat is de diagonaal in het vlak. Laten we eens kijken wat er bij die punten gebeurt. Dan geldt $\frac{a^2 + a^2}{a \cdot a + 1} = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = k$. Dus $2a^2 = k \cdot (a^2 + 1) = k \cdot a^2 + k$. De waarden in de grafiek zijn positief, dus $k$ is positief. De enige manier waarop deze gelijkheid kan gelden is als $k = 1$. En… $1$ is een kwadraat. Dus voor de punten $(a,a)$ op de diagonaal is de opgave waar.

Aan de slag

Goed. Dan kunnen we nu terug gaan naar de punten $(a,b)$ met $a \ne b$, die dus niet op de diagonaal liggen. De opgave zegt dat als $a$ en $b$ gehele getallen zijn, en op de contourlijn van waarde $k$ liggen, dan is $k$ een kwadraat. Met andere woorden: Als $k$ geen kwadraat is, dan mag de contourlijn van $k$ dus geen enkel “gridpunt” bevatten. (Met een “gridpunt” bedoel ik een punt $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.)

Laten we dat dus maar proberen te doen. Neem een getal $k$, en bekijk de contourlijn van $k$. Zoals gezegd bestaat die uit twee delen. Het deel $H$ (hoog) van punten $(a,b)$ met $a < b$, en het deel $L$ (laag) van punten $(a,b)$ met $a > b$.

Twee gevallen

Nu gaan we een slimme truc toepassen. Dat gaat als volgt. Stel dat er een gridpunt $(a,b)$ bestaat in $H$, dus met $a < b$. Nu moeten we twee gevallen bekijken. Het geval $a = 0$, en het geval $a > 0$. Voordat we die gevallen bekijken, leg ik eerst uit wat de strategie is. In het geval $a = 0$ laten we zien dat $k$ een kwadraat is. En dus zijn we klaar. De opgave is voor dat geval bewezen.

In het andere geval, met $a > 0$ gaan we een nieuw gridpunt bouwen, zeg $(c,d)$, met de volgende eigenschappen: het punt $(c,d)$ ligt ook op $H$, en $d < b$. We hebben dan dus een nieuw gridpunt op $H$ met een kleinere $y$-coördinaat dan het oude punt. Nu kunnen we voor dit nieuwe punt weer de twee gevallen bekijken: ofwel $c = 0$, ofwel $c > 0$. Als $c = 0$ dan volgt opnieuw dat $k$ een kwadraat is. Als $c > 0$, dan kunnen we een nieuw gridpunt bouwen met een lagere $y$-coördinaat en… het proces herhaalt zich.

Maar het proces moet wel een keer stoppen! Want voor de punten $(x,y)$ op $H$ geldt $x < y$. En we vinden telkens een nieuw punt met een lagere $y$-coördinaat. Dus de $x$-coördinaat wordt ook steeds kleiner. Daarom moeten we na eindig veel stappen een keer een gridpunt vinden met $x = 0$. Zoals beloofd, is de opgave dan bewezen.

Terug naar ons oorspronkelijke punt $(a,b)$. Nu moeten we dus nog twee dingen doen: als $a = 0$ moeten we laten zien dat $k$ een kwadraat is, en als $a > 0$ dan moeten we een nieuw punt op $H$ maken met een kleinere $y$-coördinaat.

Stel dat $a = 0$. Dan zegt onze vergelijking $\frac{0^2 + b^2}{0\cdot b + 1} = k$. Oftewel $b^2 = k$. En, inderdaad. We zien dat $k$ een kwadraat is.

De sleutelsprong

Op naar het volgende geval. Stel dat $a > 0$. We moeten een gridpunt $(c,d)$ maken dat op $H$ ligt, dus $\frac{c^2 + d^2}{c \cdot d + 1} = k$ en $c < d$. Daarnaast willen we ook dat de $y$-coördinaat kleiner wordt, dus $d < b$.

Omdat ons punt $(a,b)$ op $H$ ligt, geldt $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = k$. Dat kunnen we omschrijven naar $a^2 + b^2 = k \cdot (a \cdot b + 1)$. Die vergelijking kunnen we nog weer een beetje verder omschrijven naar $$b^2 – (a \cdot k) \cdot b + (a^2 – 1). \qquad (\star)$$

We zien dus dat $b$ een nulpunt is van de parabool $f(X) = X^2 – (a \cdot k) \cdot X + (a^2 – k)$. Kies nu het punt $c = a \cdot k – b$. Met een klein beetje rekenwerk zien we dat $g(X) = (X – b) \cdot (X – c) = X^2 – (b + c) \cdot X + (b \cdot c)$. Maar $b + c = a \cdot k$, en $$b \cdot c = b \cdot (a \cdot k – b) = a \cdot b \cdot k – b^2.$$ Over deze vergelijking kunnen we nog iets meer zeggen. Want we weten hebben ook vergelijking $(\star)$. Door deze twee vergelijkingen te combineren, vinden we $b \cdot c = a^2 – k$.

Dat is bijzonder! Dat betekent dat $f(X) = g(X)$, en dus dat $c$ ook een nulpunt is van de parabool $f(X)$. De twee formules $a \cdot k = b + c$ en $a^2 – k = b \cdot c$ staan bekend als de formules van Vieta. Dat is de Vieta uit de titel van deze blogpost. En nu komt de sprong van Vieta.

Omdat $c$ een nulpunt is van de parabool $f(X)$, weten we dat $$c^2 – (a \cdot k) \cdot c + (a^2 – k) = 0.$$ Dat kunnen we weer omschrijven naar $a^2 + c^2 = k \cdot (a \cdot c + 1)$, en dus naar $\frac{a^2 + c^2}{a \cdot c + 1} = k$. Met andere woorden: $(a,c)$ is een nieuw punt op de contourlijn van $k$! We zijn met de formules van Vieta naar een ander punt gesprongen.

Zoals gezegd bestaat de contourlijn van $k$ uit twee delen. Het deel $H$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x < y$ geldt. En het deel $L$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x > y$ geldt. Laten we nog een keer kijken naar een plaatje van de contourlijnen.

De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd door Gnuplot.]

In dit plaatje zijn de contourlijnen geprojecteerd op het vlak. We kunnen hier een interessante observatie doen. Als we een contourlijn kiezen (dus een gekleurde lijn in het plaatje), dan zijn er voor iedere $x$-coördinaat maar twee mogelijke punten op de contourlijn. Een punt onder de diagonaal, en een punt boven de diagonaal. (Dit is natuurlijk geen bewijs, maar deze blogpost is lang genoeg. In het bijzonder is het niet duidelijk dat het nieuwe punt boven de $x$-as ligt. Een puzzeltje voor de enthousiaste lezer…)

Het punt $(a,c)$ ligt dus op de contourlijn van $k$. En het heeft dezelfde $x$-coördinaat als het punt $(a,b)$. Dus weten we dat $(a,c)$ onder de diagonaal ligt. Met andere woorden, $a > c$, en dus ligt $(a,c)$ in $L$.

Nu gebruiken we de spiegelsymmetrie die we helemaal aan het begin hebben opgemerkt. Als $(a,c)$ op de contourlijn van $k$ ligt, dan ook $(c,a)$. Omdat we spiegelen in de diagonaal, ligt $(c,a)$ in $H$. Inderdaad: $c < a$.

En nu zijn we klaar. We moesten een nieuw punt $(c,d)$ maken dat in $H$ ligt en een kleinere $y$-coördinaat heeft dan $(a,b)$, dus $d < b$. Welnu, $(c,a)$ ligt in $H$, en heeft $y$-coördinaat $a$. En zoals gezegd geldt $a < b$, omdat het oorspronkelijke punt $(a,b)$ ook in $H$ ligt.

Einde bewijs. QED.

Als u tot hier hebt door gelezen: mijn complimenten! En een hele fijne vakantie toegewenst.

Vakantie

“Op vakantie gaan betekent: je dagelijkse bezigheden uitvoeren in primitievere omstandigheden dan je normaal gewend bent”.

Tjah, daar sta je dan met een tas kleding in de hand, slalommend tussen de zwemspullen en de spelletjes door op weg naar de auto. Is dat echt zo? Halen we ons met het hele vakantie-gebeuren eigenlijk vooral een hoop ongemak op de hals? Feitelijk wel natuurlijk: alles moet ingepakt worden, de was moet nog even worden weggewerkt terwijl je de te wassen kleren nog aan hebt, het huis moet netjes “voor als de buurvrouw de plantjes komt gieten”, we staan misschien zelfs extra vroeg op… omdat het vakantie is?! En dan moet ook nog de koelkast precies leeggegeten worden, moeten we een eind in de auto zitten, laten we het grootste deel van ons speelgoed thuis, hebben we op vakantie geen internet 🙂 … Tjonge jonge.

En toch hebben we er zin in. Dan moet zo’n vakantie toch wel iets heel bijzonders en verfrissends zijn. Ik denk dat daar vier dingen bij meespelen:

  1. In een andere omgeving zijn, is leuk en verfrissend. We verheugen ons op de bergen, op het verkennen van “ons” dorpje, op het ontdekken van leuke picknickplekjes en het zien van watervallen. “Er even uit zijn” is niet voor niets een populair begrip.
  2. In ons geval: samen zijn met familie die we anders niet zo vaak spreken. Ons kleine nichtje zien, spelletjes doen met broers en zussen, op avontuur met opa… Kortom alle kleine dingetjes die we best wel missen nu we in Duitsland wonen. En we hopen natuurlijk op oppas zodat Johan en ik met z’n tweetjes een avondwandeling kunnen maken of ergens ongestoord een stukje appeltaart kunnen eten!
  3. Afstand nemen van ons werk. Goed, niet van 80% van mijn werk, want de kinderen gaan natuurlijk mee en we moeten daar ook eten. Maar wel van de dagelijkse sleur en vooral voor Johan ook van wiskunde. Zijn hoofd uitzetten zal wel niet helemaal gaan, maar als z’n laptop thuisblijft en hij niet op internet kan, scheelt dat toch al een heel stuk. Ik heb goede hoop dat dat uiteindelijk meer ontspant dan thuis op de bank zitten. We komen vast helemaal relaxed terug.
  4. Tijd hebben voor leuke dingen. Lezen, wandelen, spelletjes doen, enzovoorts. Als je normaalgesproken 40 uur per week werkt en ook nog heen en weer reist, zou je in de vakantie toch aan andere dingen toe moeten komen. Aangezien Johan permanent een grote stapel boeken heeft liggen die smeken om gelezen te worden, komt dat bijzonder goed uit. Nu nog hopen dat onze kinderen zich ook vermaken, die hebben op vakantie natuurlijk niet al hun speelgoed bij zich. En we zitten dit keer niet op een camping met drie speeltuinen en een zwembad. Maar we hebben wel een animatieteam 😉

Ik zei het al: we hebben daar geen internet. Dus we kunnen ook geen blogs plaatsen. Dat betekent dus twee weken stilte hier! We zullen achteraf verslag doen hoe ontspannend en inspirerend onze vakantie was. Tot later!

Ollie

Hieronder zien jullie Judiths favoriete boek. Het gaat over Gonnie en Gijsje, twee parmantige gansjes met laarsjes aan. Die laarsjes waren de aanleiding waarom oma Paula ons dat boek gegeven heeft: er staat een gansje in met één blauw en één rood laarsje. Dat is een stukje familiegeschiedenis. Toen Johan klein was had hij rode laarsjes, maar er was er eentje kwijtgeraakt. Vervolgens werden er nieuwe laarsjes gekocht, precies dezelfde maar dan in het blauw. En ook daar raakte er eentje van kwijt! Vanaf toen lopen kleine Commelinnetjes dus op één rood en één blauw laarsje. Judiths voeten zijn inmiddels alweer te groot geworden, maar we bewaren de laarsjes nog trouw voor het volgende kindje in de familie 🙂

Het leukste aan het boek is dat je op de kaft een klepje omhoog kunt duwen, waardoor er een klein gansje uit het ei komt. En dat is meteen het favoriete verhaaltje in dit boek: Gonnie en Gijsje zien een ei. In dat ei zit Ollie, een klein gansje. Maar Ollie wil er niet uit! Een heel verhaal lang proberen Gonnie en Gijsje hem zo ver te krijgen dat Ollie uit het ei komt, maar hij doet het niet! “Ik kom er niet uit!” “Ik kom er echt niet uit!” “Ik kom er toch niet uit!” Die zinnetjes worden door onze jongedame steeds weer herhaald, tot ze dan met een grote grijns het klepje omhoogduwt: “Komme toch uit!”

Zie je hoe boos Gonnie en Gijsje zijn? Die Ollie trekt zich er niks van aan 🙂

Het blijft een kostelijk herkenbaar verhaaltje. Een verdraaid eigenwijs klein gansje dat ECHT NIET gaat doen wat de anderen van hem vragen. Ze kunnen achter hem aan rennen, ze gaan zelfs bovenop het ei zitten, ze trekken alles uit de kast – maar die kleine doet gewoon precies wat ‘ie zelf wil. Ik herken daar wel iets in. Niet dat ik zelf eigenwijs ben natuurlijk. Maar onze Judith kan er wat van… Regelmatig heeft ze geen zin om mee te gaan als ik Boaz op moet halen van de Kindergarten (en als we er eenmaal zijn wil ze niet mee terug naar huis). Ze wil dan haar schoenen niet aan, haar helm niet op, ze gaat gewoon NIET MEE! Gelukkig heeft ze nog de leeftijd dat ik haar gewoon onder de arm kan pakken en in het fietsstoeltje kan planten, maar gezellig is anders. Ze maakt haar protesten luidkeels kenbaar, en de hele buurt geniet mee. Vasthoudend is ze ook. Gister heeft ze het 1,3 van de 1,5 km volgehouden om als een soort mantra te herhalen: “Ikke ga niet mee. Ikke ga niet mee. Ikke wil niet mee. Ikke ga echt niet mee” [herhaal]. Dat ze ondertussen al lang achterop zat en tegen wil en dank toch richting Kindergarten convergeerde, dat deed er kennelijk niet toe.

Ik heb zelfs heel pedagogisch geprobeerd om haar de gelijkenis met Ollie onder ogen te brengen. Maar daardoor raakte ze zo mogelijk nog meer beledigd: “Ikke IS NIET OLLIE! Ik ga niet mee. Ikke ga niet mee. Ik ga toch echt niet mee”…

Gijsje en Gonnie losten het probleem uiteindelijk op door weg te lopen en te zeggen: “Dan kom je er toch niet uit!” Maar dat werkt bij Judith niet meer. Als ik wegloop en zeg: “Dan moet je maar alleen thuis blijven. Mama gaat nu weg”, dan is er 50% kans dat ze dat een prima oplossing vindt. Dus ja, dat heeft niet meer het gewenste effect. Mij blijft weinig anders over dan mijn tegenstribbelende “ei” maar gewoon op te pakken en in de gordels te zetten. Gelukkig is deze strijd na de zomervakantie waarschijnlijk een stuk minder: dan mag madame zélf naar de Kindergarten. En daar is ze het roerend mee eens. Alweer net als Ollie, want kijk maar op de laatste bladzijde hierboven. Ollie is nog maar net uit zijn ei, of hij wil OOK! Als hij niet meteen krijgt wat hij wil – omdat hij het nog niet heeft gevraagd – stampt hij heel boos in het rond. Pas als hij ook laarsjes krijgt, net als de groten, is hij tevreden. Dan stapt hij twee rondjes en besluit vervolgens dat de laarsjes toch te warm zijn en dat ‘ie iets anders wil.

Hier houdt de gelijkenis op, wat mij betreft. Als Judith straks naar de Kindergarten mag, is ze helemaal tevreden. Dan gaat ze elke ochtend vrolijk de deur uit en speelt dat het een lieve lust is. En het rode en blauwe laarsje staan te wachten tot het volgende kindje in onze familie uit zijn “ei” komt. Ik ben benieuwd of die net zo eigenwijs gaat zijn 🙂

Geestelijke wapenrusting

De afgelopen tijd hebben we bij onze zondagse Bijbelmomenten nagedacht over de geestelijke wapenrusting. Niet direct een makkelijk thema, maar het sprak onze kinderen – vooral ridder Boaz – wel erg aan. De kunst is dan natuurlijk om het leuk te houden met knutselwerkjes enzo, én ze iets mee te geven van de achterliggende theologische concepten en Bijbelse ideeën. Dat laatste probeerden we door steeds weer in gesprek te gaan, en door elke week de elementen van de wapenrusting weer te benoemen aan de hand van een soldaatje dat we steeds verder “aankleedden”.

Als eerste was de gordel van de waarheid aan de beurt. Een Romeinse soldaat met zo’n losse tunica kon makkelijk over z’n kleren struikelen. Daarom had hij een stevige riem nodig. Net zo moeten wij geworteld zijn in de waarheid, ons wereldbeeld bouwen op Gods Woord, om niet te struikelen.

Als tweede kwam het borstharnas van de gerechtigheid aan de beurt. Daar moesten we zelf ook even over nadenken. Wat betekent dat precies? Uiteindelijk kwamen we uit op het concept van “toegerekende gerechtigheid”. Een hele mondvol, en niet meteen Jip-en-Janneke-taal. Maar met een knutselwerkje kwamen we er aardig uit.

Het borstharnas beschermt ons hart en onze gevoelens. Satan wil onze gevoelens graag de verkeerde kant op sturen, hetzij door ons trots te maken (“Kijk eens hoe goed ik ben, God zal vast blij met mij zijn!”) of door ons depressief en onzeker te laten zijn (“Ik ben zo slecht, de Heere wil mij vast niet…”). Maar onze redding is niet gebaseerd op onze eigen gerechtigheid en prestaties, maar alleen op die van Jezus. Als we in Hem geloven, neemt Hij ons vuile hart op Zich en krijgen wij Zijn gerechtigheid (uitgebeeld als het gouden hart). Met een splitpennetje konden we dat mooi laten zien. En als we dit in gedachten houden, zijn we beschermd tegen satans aanvallen.

Na de gordel en het borstharnas kwamen we bij de schoenen/sandalen van de bereidheid van het Evangelie van de vrede. Pfoe, dat was een hele mondvol. En ook die begrepen we pas na er meer over gelezen te hebben. Schoenen zijn nodig om niet uit te glijden, om stevig te staan. In het leven moet je ook stevig staan, zodat je niet van het juiste pad afglijdt. Hoe doe je dat? Door de bereidheid van het Evangelie van de vrede. Anders gezegd: als je het hoogste belang hecht aan de goede boodschap van God die vrede brengt tussen Hem en jou. Dat Evangelie is zoveel waard, dat je er alles voor over hebt, ook de moeilijkheden en verantwoordelijkheden die ermee gepaard kunnen gaan. Als dat je uitgangspunt is kun je stevig staan, ook als je misschien het gevoel hebt dat je principes schadelijk zijn voor je carrière, of onaangenaam voor mensen om je heen, of een streep halen door je eigen verlangens. Het Evangelie is dat allemaal waard, en daarom hoef je geen water bij de wijn te doen.

Hierna kwam het schild van geloof. Dat was makkelijk qua werkje: een stuk karton met een handvat eraan, en versieren maar. Met zo’n schild kun je vijandelijke pijlen afweren. Zo kunnen we door het geloof de aanvallen van satan (a) doorzien en (b) afweren – hetzij directe aanvallen, hetzij aanvallen via andere mensen. Als voorbeeld namen we Paulus die in de gevangenis zat en bovendien in de steek gelaten werd door medegelovigen. Maar hij liet zich niet in de put brengen; hij was sterk in het geloof.

Een week later kwam de helm van de (hoop op de) zaligheid. Dat zag er heel stoer uit 😉

Een helm beschermt iemands hoofd. Zo helpt de hoop op Gods heerlijke toekomst om onze gedachten te beschermen. Als het leven soms moeilijk is, als we geneigd zijn het bijltje erbij neer te gooien, dan krijgen we nieuwe moed door te denken aan de nieuwe hemelen en de nieuwe aarde die de Heere beloofd heeft.

En toen kwam dan eindelijk, eindelijk het zwaard aan de beurt. Daar is naar uitgezien 😉 Ik heb ze expres alleen een kartonnen zwaard laten maken, daarmee bleef de schade beperkt 🙂 En je kunt het mooi versieren natuurlijk.
Inhoudelijk bespraken we het verhaal over Jezus die in de woestijn verzocht werd. Bij elke aanval van satan antwoordde Jezus met een citaat uit Gods Woord. Daarmee worden satans halve waarheden onderuit gehaald, en uiteindelijk slaat hij dan op de vlucht. Om dit zwaard te kunnen gebruiken is het dus enorm belangrijk om de Bijbel goed te kennen!

We hebben heel wat geleerd. Ik heb niet de illusie dat alle moeilijke woorden en concepten nu voor eens en voor altijd in ons hoofd zitten, maar er is in ieder geval weer een stap gezet. Stapje voor stapje gaan we door, zodat we hopelijk allemaal als goed bewapende soldaten het leven in kunnen gaan. In Gods kracht, in verbondenheid met Hem – daar gaan we het morgen nog over hebben, als afsluiting van onze serie. En dan is het tijd voor vakantie 🙂 Dan hopen we weer andere thema’s aan te snijden, aansluitend op “wandelen” en “bergen” enzo… 🙂 🙂