(On)voorspelbare priemgetallen

Het is alweer een hele tijd geleden dat ik iets over mijn werk heb geschreven. Kort gezegd heb ik het heel erg goed naar mijn zin op mijn werk. Ik heb verschillende gasten uit kunnen nodigen met wie ik samen aan onderzoeksprojecten heb kunnen werken. Een project dat al ruim drie jaar loopt is inmiddels bijna afgerond, en samen met twee collega’s uit Freiburg en een andere wiskundige uit Basel ben ik een ander project aan het opstarten. Daarnaast ben ik ongeveer een kwart van mijn tijd kwijt aan onderwijs. Dat varieert van het begeleiden van een studentenseminarium tot het verzinnen van huiswerkopgaven en het begeleiden van tutoren.

In de rest van deze blogpost wil ik een voorbeeld geven van een wiskundige stelling die ik bijzonder interessant vind. Ik zal proberen zoveel mogelijk begrippen uit te leggen, maar ik kan niet verkomen dat sommige aspecten wat ingewikkeld zullen zijn. We beginnen met het herhalen van de definitie van een priemgetal.

Definitie. Een priemgetal is een getal p > 1 dat geen andere delers heeft dan 1 en zichzelf.

De eerste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Een voorbeeld van een getal dat niet priem is, is 21, want 21 = 3 × 7. Priemgetallen zijn erg belangrijke getallen. Het zijn de bouwblokken waarmee alle andere getallen gemaakt kunnen worden door te vermenigvuldigen. De rij van priemgetallen is oneindig lang (dit werd al zo’n 300 jaar voor Christus bewezen door Euclides). Over het algemeen gedraagt de rij van priemgetallen zich zeer onvoorspelbaar. Er is geen eenvoudige formule die ons kan zeggen wat het volgende priemgetal in de rij zal zijn.

Het volgende concept dat we nodig hebben is modulorekenen. Dit is een moeilijk woord voor rekenen op een klok, maar het aantal getallen op de klok hoeft geen 12 te zijn. Als het 10 uur is, dan weten we allemaal dat het 5 uur later 3 uur is, want 10 + 5 = 15, en 15 – 12 = 3. Op soortgelijke wijze kunnen we uitrekenen dat 3 × 5 gelijk is aan 1 op een klok met 7 cijfers. Want 3 × 5 = 15, en 15 – 7 – 7 = 1. Een ander voorbeeld is 3 × 3 = 2 op de klok met 7 cijfers, want 3 × 3 = 9, en 9 – 7 = 2.

Dat laatste voorbeeld is wel interessant: het laat zien dat 2 een kwadraat is op de klok met 7 cijfers. Dat betekent dat er een getal is (namelijk 3) dat na vermenigvuldiging met zichzelf de uitkomst 2 geeft. Laten we dit eens op wat andere klokken proberen. Om technische redenen kijken we alleen naar klokken waarvan het aantal cijfers een priemgetal is. Op de klok met 3 cijfers geldt 1 × 1 = 1 en 2 × 2 = 1. Op de klok met 5 cijfers geldt 1 × 1 = 1 en 2 × 2 = 4 en 3 × 3 = 4 en 4 × 4 = 1. Op deze klokken is 2 dus geen kwadraat. Het blijkt dat 2 ook geen kwadraat is op de klok met 11 of 13 cijfers, maar op de klok met 17 cijfers geldt 6 × 6 = 2, want 6 × 6 = 36 en 36 – (2 × 17) = 2.

Nu kunnen we ons de volgende vraag stellen: voor welke priemgetallen p is het getal 2 een kwadraat op de klok met p cijfers? Zoals ik hierboven al had gezegd, gedraagt de rij van priemgetallen zich heel erg onvoorspelbaar. Dus er is geen makkelijk antwoord op deze vraag. Toch blijkt er een mooi antwoord te zijn, wat laat zien dat de priemgetallen door de juiste bril zich weer heel regelmatig gedragen.

De eerste 10 priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, en 29. Op de klokken met 2, 7, 17, of 23 cijfers is 2 een kwadraat. Op de andere 6 klokken niet. Vervolgens heb ik aan mijn computer gevraagd voor hoeveel klokken 2 een kwadraat is in de lijst van de eerste 100 priemgetallen: dat blijken er 48 te zijn. Dat is bijna de helft! Daarna heb ik mijn computer nog iets harder laten werken. Op de eerste 1000 klokken waarvan het aantal cijfers een priemgetal is, blijkt dat 2 een kwadraat is op 494 klokken, en voor de eerste 10000 klokken zijn er 4988 klokken waarop 2 een kwadraat is. Het blijkt dat dit geen toeval is. Dirichlet heeft de volgende stelling bewezen.

Stelling (Dirichlet). Als je de eerste n klokken bekijkt waarvan het aantal cijfers een priemgetal is, dan is 2 een kwadraat op ongeveer de helft van de klokken; en hoe groter je getal n kiest, hoe dichter de verhouding bij 1/2 komt.

Dit is ook niet een speciale eigenschap van het getal 2. Ook 3 is een kwadraat op ongeveer de helft van de priemklokken. Maar bij 4 gaat het mis, want 4 = 2 × 2, en is dus een kwadraat op elke klok. Maar 5 en 6 zijn weer kwadraten op ongeveer de helft van de priemklokken. De stelling werkt voor alle getallen die niet deelbaar zijn door een kwadraat!

Toen ik deze stelling voor het eerst leerde was ik erg verbaasd. En het verhaal is nog niet klaar. Er is nog veel meer structuur bekend onder de zogeheten stelling van Chebotarev. Zelf besteed ik nu een deel van mijn tijd aan onderzoek naar een vermoeden dat deze stelling van Chebotarev verregaand generaliseert: het zogeheten Sato–Tate vermoeden. Maar ondanks dat het verhaal niet af is, is deze blogpost nu wel af, en zal ik jullie niet verder vermoeien met deze (on)voorspelbare priemgetallen.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *