Maand: december 2018

Ik zag tot m’n schrik dat onze vorige blogpost alweer ruim een week geleden is. We hebben het dan ook druk… met allerlei feestjes en familiebezoekjes.

Vrijdagmiddag was Hannah al om twaalf uur “uit” en toen ben ik met Judith begonnen aan m’n reis naar Nederland. Gaandeweg pikten we de anderen op bij school, Kindergarten en werk. En toen we iedereen aan boord hadden, sloten we aan in de file. Twee uur na vertrek van huis waren we zo ver dat ik nog sneller had kunnen fietsen… 🙁 Maar toen we eenmaal voorbij het ongeluk waren dat de file had veroorzaakt, konden we zonder noemenswaardige hindernissen doorrijden naar Staphorst. Dat was natuurlijk wel een lange reis, dus we hebben onderweg een patatje gegeten, liedjes gezongen, spelletjes gespeeld en luistercd’s gedraaid. En toen, net toen bijna iedereen sliep, waren we er!

En nu zijn we er nog steeds. Dat is het fijne aan een kerstvakantie van twee weken. Ondertussen hebben we ons nichtje bewonderd, bijgepraat met familie, Kerst gevierd, opa’s kamer overspoeld met troep en speelgoed, en een speurtocht uitgezet voor Prinses Hannah. Want vandaag was voor haar de grote dag, ze is eindelijk zeven jaar geworden! Daar heeft ze lang naar uitgezien, ze kon er zelfs niet van slapen gisteravond. Met als gevolg dat we haar nu wakker konden zingen om half acht 🙂 We hadden een kaart en een “schat-verhaal” gemaakt over prinses Hannah die op speurtocht ging door het huis, en onze eigen prinses racete vol enthousiasme de aanwijzingen achterna. Er kwamen zeven cadeaus tevoorschijn – dat kwam precies mooi uit!

Vandaag hopen we haar verjaardag nog verder te vieren met taart, visite en patatjes. Zaterdag willen we verkassen naar Lelystad, en van daaruit nog weer wat familie opzoeken. Al met al een heel programma, maar we vinden het heerlijk om weer even hier te zijn en “gewoon” met onze hele lawaaiige en troep-makende en oren-van-het-hoofd-etende meute welkom te zijn in onze ouderlijke huizen. Voor ons is dit een heel goede “Rutsch”. Zo noemen ze dat in Duitsland. Het duurde even voor we begrepen dat deze “Rutsch” niets te maken heeft met glijbanen of uitglijden over de sneeuw, maar met “goede feestdagen en een goede start van het nieuwe jaar”. Dus bij deze voor iedereen die dit nog tijdig leest:

“Guten Rutsch!” en nog een fijne vakantie…

Boaz was vandaag in een filosofische bui. Achterop de fiets zat hij na te denken over zijn toekomstige huwelijkspartner. Dat wordt natuurlijk ook wel tijd onderhand… Het liefst trouwt hij met Ellis, z’n vriendinnetje uit Ede. Maar hij zit een beetje met de afstand, hij weet niet of Ellis wel helemaal hier wil wonen. Ik heb hem maar verteld dat we tegen die tijd waarschijnlijk wel weer in Nederland wonen, want dat hij eerst een grote man moet zijn voor hij kan trouwen. En dat mensen die elkaar lief vinden heel vaak niet in dezelfde plaats wonen, maar als ze dan gaan trouwen zoeken ze samen een gezellig plekje uit.

Pfoe. Gelukkig maar.

Maar toch. Stel dat we dan nog in Duitsland wonen, en dat Ellis niet mee wil. Dan heeft Boaz toch echt een probleem, want de twee andere kandidaten vallen af: Max is een heel lief vriendje van de Kindergarten maar dat is een jongen, en juf Regina is ook héél erg lief, maar die is helaas al laaaaang getrouwd. En mama is al met papa getrouwd, dus dat is sowieso geen optie 🙂

Hij zat er echt een beetje mee, dus ik heb er nog maar een lesje aan vast geknoopt. Toen papa een jongen was en mama een meisje, toen kenden wij elkaar nog helemaal niet! Pas toen we al bijna groot waren zagen we elkaar voor het eerst. Toen vond ik papa heel leuk, en papa vond mij heel lief. Daarom werden we vriendjes, en later gingen we zelfs trouwen. Dus dat kan best, dat je iemand nu nog niet kent maar later wel.

“Dus het kan dat jij nu een meis nog niet kent, maar dat die wel echt heel lief is?” Ja jongen. Dat komt helemaal goed.

Pfoe. Gelukkig maar.

Vanmiddag was hij nog weer aan het nadenken. Dit keer niet over een vrouw, maar over een baan. Hij was lekker paprika’s en champignons aan het snijden, maar daar word je toch ook wel weer moe van. Dus hij wordt geen kok van beroep. Wat wel, dat weet hij nog niet helemaal. Maar hij heeft nu alvast afgesproken: ook als hij zo groot is als papa, of misschien zelfs wel negentien (!), dan komt hij mij nog steeds twee of drie keer per week helpen met koken. Want hij vindt mij heel lief en hij kan dat heel goed.

Pfoe. Gelukkig maar.

Judith heeft zo haar eigen plannen. Liefst niet voor de toekomst, maar nu meteen. Elke dag op de fiets vertelt ze me vastbesloten: “Joetie kienegaaten! Joetie ook chool!”. Sorry meid. Dát moet toch echt nog even wachten.

Het is alweer een hele tijd geleden dat ik iets over mijn werk heb geschreven. Kort gezegd heb ik het heel erg goed naar mijn zin op mijn werk. Ik heb verschillende gasten uit kunnen nodigen met wie ik samen aan onderzoeksprojecten heb kunnen werken. Een project dat al ruim drie jaar loopt is inmiddels bijna afgerond, en samen met twee collega’s uit Freiburg en een andere wiskundige uit Basel ben ik een ander project aan het opstarten. Daarnaast ben ik ongeveer een kwart van mijn tijd kwijt aan onderwijs. Dat varieert van het begeleiden van een studentenseminarium tot het verzinnen van huiswerkopgaven en het begeleiden van tutoren.

In de rest van deze blogpost wil ik een voorbeeld geven van een wiskundige stelling die ik bijzonder interessant vind. Ik zal proberen zoveel mogelijk begrippen uit te leggen, maar ik kan niet verkomen dat sommige aspecten wat ingewikkeld zullen zijn. We beginnen met het herhalen van de definitie van een priemgetal.

Definitie. Een priemgetal is een getal p > 1 dat geen andere delers heeft dan 1 en zichzelf.

De eerste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Een voorbeeld van een getal dat niet priem is, is 21, want 21 = 3 × 7. Priemgetallen zijn erg belangrijke getallen. Het zijn de bouwblokken waarmee alle andere getallen gemaakt kunnen worden door te vermenigvuldigen. De rij van priemgetallen is oneindig lang (dit werd al zo’n 300 jaar voor Christus bewezen door Euclides). Over het algemeen gedraagt de rij van priemgetallen zich zeer onvoorspelbaar. Er is geen eenvoudige formule die ons kan zeggen wat het volgende priemgetal in de rij zal zijn.

Het volgende concept dat we nodig hebben is modulorekenen. Dit is een moeilijk woord voor rekenen op een klok, maar het aantal getallen op de klok hoeft geen 12 te zijn. Als het 10 uur is, dan weten we allemaal dat het 5 uur later 3 uur is, want 10 + 5 = 15, en 15 – 12 = 3. Op soortgelijke wijze kunnen we uitrekenen dat 3 × 5 gelijk is aan 1 op een klok met 7 cijfers. Want 3 × 5 = 15, en 15 – 7 – 7 = 1. Een ander voorbeeld is 3 × 3 = 2 op de klok met 7 cijfers, want 3 × 3 = 9, en 9 – 7 = 2.

Dat laatste voorbeeld is wel interessant: het laat zien dat 2 een kwadraat is op de klok met 7 cijfers. Dat betekent dat er een getal is (namelijk 3) dat na vermenigvuldiging met zichzelf de uitkomst 2 geeft. Laten we dit eens op wat andere klokken proberen. Om technische redenen kijken we alleen naar klokken waarvan het aantal cijfers een priemgetal is. Op de klok met 3 cijfers geldt 1 × 1 = 1 en 2 × 2 = 1. Op de klok met 5 cijfers geldt 1 × 1 = 1 en 2 × 2 = 4 en 3 × 3 = 4 en 4 × 4 = 1. Op deze klokken is 2 dus geen kwadraat. Het blijkt dat 2 ook geen kwadraat is op de klok met 11 of 13 cijfers, maar op de klok met 17 cijfers geldt 6 × 6 = 2, want 6 × 6 = 36 en 36 – (2 × 17) = 2.

Nu kunnen we ons de volgende vraag stellen: voor welke priemgetallen p is het getal 2 een kwadraat op de klok met p cijfers? Zoals ik hierboven al had gezegd, gedraagt de rij van priemgetallen zich heel erg onvoorspelbaar. Dus er is geen makkelijk antwoord op deze vraag. Toch blijkt er een mooi antwoord te zijn, wat laat zien dat de priemgetallen door de juiste bril zich weer heel regelmatig gedragen.

De eerste 10 priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, en 29. Op de klokken met 2, 7, 17, of 23 cijfers is 2 een kwadraat. Op de andere 6 klokken niet. Vervolgens heb ik aan mijn computer gevraagd voor hoeveel klokken 2 een kwadraat is in de lijst van de eerste 100 priemgetallen: dat blijken er 48 te zijn. Dat is bijna de helft! Daarna heb ik mijn computer nog iets harder laten werken. Op de eerste 1000 klokken waarvan het aantal cijfers een priemgetal is, blijkt dat 2 een kwadraat is op 494 klokken, en voor de eerste 10000 klokken zijn er 4988 klokken waarop 2 een kwadraat is. Het blijkt dat dit geen toeval is. Dirichlet heeft de volgende stelling bewezen.

Stelling (Dirichlet). Als je de eerste n klokken bekijkt waarvan het aantal cijfers een priemgetal is, dan is 2 een kwadraat op ongeveer de helft van de klokken; en hoe groter je getal n kiest, hoe dichter de verhouding bij 1/2 komt.

Dit is ook niet een speciale eigenschap van het getal 2. Ook 3 is een kwadraat op ongeveer de helft van de priemklokken. Maar bij 4 gaat het mis, want 4 = 2 × 2, en is dus een kwadraat op elke klok. Maar 5 en 6 zijn weer kwadraten op ongeveer de helft van de priemklokken. De stelling werkt voor alle getallen die niet deelbaar zijn door een kwadraat!

Toen ik deze stelling voor het eerst leerde was ik erg verbaasd. En het verhaal is nog niet klaar. Er is nog veel meer structuur bekend onder de zogeheten stelling van Chebotarev. Zelf besteed ik nu een deel van mijn tijd aan onderzoek naar een vermoeden dat deze stelling van Chebotarev verregaand generaliseert: het zogeheten Sato–Tate vermoeden. Maar ondanks dat het verhaal niet af is, is deze blogpost nu wel af, en zal ik jullie niet verder vermoeien met deze (on)voorspelbare priemgetallen.

Ik verveelde me en ik dacht, het is tijd voor iets nieuws. Ik ga stagelopen als kraamverzorgster. En laat er nu net een stage-adres beschikbaar zijn in Staphorst… Bij een heel lief klein meisje van een week oud 🙂

Tot nu toe bevalt m’n nieuwe baantje uitstekend. Een echte kraamhulp zou waarschijnlijk ook nog de vloer gedweild hebben en allerlei logboeken bij moeten houden in de tijd dat ik lekker thee zit te drinken, maar eten koken, een schone broek geven, een tummy-tub klaarzetten en dat soort dingetjes, dat gaat Judith en mij al uitstekend af. En we hebben boodschappen gedaan, dat doet een officiële kraamverzorgster vast niet. Het jammere is alleen dat mijn stage-adres wat ver van huis is. Dus we houden het bij een paar dagen en dan gaan we weer met de trein terug naar Bad Krozingen.

Als de trein rijdt tenminste. Vandaag schijnen er stakingen te zijn bij de Deutsche Bahn, en dat is nou precies niet waar ik op zit te wachten als ik met dochterlief op pad ben! De heenweg ging keurig volgens planning, en dat was eigenlijk wel heel erg fijn. Dan nog duurt het acht uur voor we van Bad Krozingen in Meppel zijn, daar hoeft van mij niet nog meer tijd bij te komen… We gaan er vooralsnog maar even vanuit dat de stakende personeelsleden tijdig vrede sluiten met hun bazen en weer netjes aan de slag gaan.

Dan is het woensdag ook wel weer tijd om gewoon samen thuis te zijn. Ik ben nu vijf dagen weg, en daarvoor was Johan drie dagen op reis. We hebben nog net “goedenavond” en “fijne reis” kunnen zeggen tussendoor. Maar ja, ik stond natuurlijk te popelen om m’n nieuwe nichtje te kunnen zien. Dat kon niet wachten tot na het weekend 🙂 Dus nu ben ik als kraamhulp aan het werk en is Johan 50/50 wiskundige en huisman. Inclusief ’s ochtends haren kammen en maandagmiddag naar de gym gaan. Voor de lange termijn niet ideaal, en ik denk dat Johan het ook niet erg vindt om straks weer “gewoon” hele dagen wiskunde te doen, maar zo voor een paar dagen is het super fijn dat dit zo kan!

Wij hebben een kerstboom. Na 5 jaar vragen van Hannah en 3 jaar vragen van Boaz en enthousiaste suggesties van Judith hebben wij eindelijk ook een kerstboom. Goed, toegegeven, hij is maar zo’n 30 cm groot en er hangt geen snoep in en ook geen enorme kerstballen – dan zou het arme ding bezwijken onder die last en een kerstboom hoort toch fier rechtop te staan.

Het idee voor dit boompje kwam niet alleen bij de kinderen vandaan, ik vond op internet ook ideeën voor een “Jesse tree”, een “boom van Isaï” dus. Daar heb ik mijn eigen draai aan gegeven. Het plan is dat we tijdens de adventstijd elke dag een kartonnen figuurtje uit ons adventshuisje halen. Op dat kartonnetje staat dan een naam van de Heere Jezus, bijvoorbeeld “Zoon van David”, “Raadsman” of “Licht van de wereld”. Er staat ook een Bijbelgedeelte op waar deze naam wordt genoemd of uitgelegd, dat lezen we dan na het eten. Vervolgens mag het kartonnetje als versiering en herinnering in de boom. Tegen Kerst hangt ‘ie dus als het goed is vol.

Een andere adventsactiviteit die we zondag hebben gedaan, was het maken van een zandloper, gevonden op bijbelsopvoeden.nl . Het idee was dat een zandloper de tijd aangeeft die al verlopen is en die je nog moet wachten tot “de tijd vol is”. De tijd tot Jezus werd geboren, de tijd tot het Kerstfeest, de tijd tot Jezus terugkomt…

En we dachten ook meteen aan: de tijd tot een kindje wordt geboren! Dat is voor ons hoogst actueel, want we hebben er sinds zondag een nichtje bij 🙂 Johan en ik zijn dus voor het eerst oom en tante geworden, en we zijn mega trots. En onze kinderen hebben ein-de-lijk een nichtje “om mee te spelen”. Haha, dat zal nog wel heel eventjes duren, maar het idee is leuk natuurlijk. Helaas moet Johan uitgerekend deze week naar Italië, maar als hij terug is heeft ‘ie een paar dagen vrij genomen zodat ik zaterdag met Judith naar Nederland kan gaan voor een kraambezoekje. Weer iets om naar uit te zien!