Wiskundig fruit

De eerste maand werken in Freiburg heeft zijn vruchten afgeworpen. Zowel op het gebied van onderwijs als onderzoek. Ik zal eerst wat vertellen over het onderwijs, en ten slotte iets over mijn onderzoek.

Ik begeleid nu twee vakken. Voor het vak algebraïsche getaltheorie moet ik huiswerkbladen maken, en andere kleine klusjes voor de docent opknappen. Het nakijkwerk wordt door een andere assistent gedaan. Een interessant vak, maar mijn taak is niet bijzonder spannend. Het andere vak is een zogeheten Proseminar. Daarbij moeten studenten (meestal in hun tweede jaar) een voordracht houden. In ons Proseminar is gekozen voor “kwadratische vormen over Q” als onderwerp. Die keuze is vrij ambitieus, maar volgens mij zijn de studenten wel enthousiast. Het is mijn taak om de studenten te helpen bij hun voorbereiding van de voordracht; zodat ze niet onderschatten hoeveel stof ze moeten behandelen in tweemaal 45 minuten. En om de foutjes in hun begrip van de materie weg te werken.

Kwadratische vormen komen overal in de wiskunde voor. Op de meest onverwachte plaatsen steken ze de kop op: getaltheorie, gladde meetkunde, algebra. In ons Proseminar kiezen we voor een getaltheoretische benadering.

Ik zal een paar voorbeelden geven van kwadratische vormen, en het type vragen waar men naar kan kijken. Als $a$ een getal is, dan is $a * a$ het kwadraat van $a$. Dus het kwadraat van 2 is 4, en het kwadraat van 3 is 9. We noteren het kwadraat van $a$ met $a^2$. Merk op dat $a^2 \ge 0$. Ook als $a < 0$, want “min keer min is plus”.

Het meest eenvoudige voorbeeld van een kwadratische vorm is de formule $q = x^2$. Dus we beginnen met een getal $x$; en dat stoppen we in de formule om een getal $q$ te krijgen. Het uiterst belangrijke kenmerk van een kwadratische vorm, is dat als we $x$ tweemaal zo groot maken, dan wordt $q$ wel viermaal zo groot. En als we $x$ driemaal zo groot maken, dan schaalt $q$ met een factor 9. Het zit ‘m ook in de naam van het beestje: kwadratische vormen. Dus als $x$ geschaald wordt met een factor $a$, dan schaalt $q$ met factor $a^2$, het kwadraat van $a$.

In het algemeen is een kwadratische vorm een formule die begint met een lijstje getallen, en daaruit een getal produceert dat dezelfde schalingsregel heeft als het voorbeeld hierboven. Bijvoorbeeld, we starten met het lijstje $(x,y,z)$ en daaruit bouwen we $q = x^2 + yz$. Opnieuw geldt dat het lijstje $(2x,2y,2z)$ gestuurd wordt naar $4q$, en in het algemeen wordt $(a*x, a*y, a*z)$ gestuurd naar $a^2*q$.

Laten we eens een voorbeeldlijstje invullen. We nemen $(1,-1,3)$. Dan krijgen we $q = 1^2 + (-1)*3 = -2$. En als we $(0,5,0)$ nemen, dan krijgen we $q = 0^2 + 5*0 = 0$. Dit laatste voorbeeld is interessant. We begonnen met een lijstje getallen die niet allemaal 0 waren, en toch was de uitkomst 0. We zeggen dat deze kwadratische vorm “nul representeert”.
Dus nogmaals de definitie van nul representeren:

Definitie. Een kwadratische vorm representeert nul als er een lijstje getallen bestaat die niet allemaal nul zijn, zodat de uitkomst van de formule wel nul is.

Bekijken we tenslotte nog een voorbeeld: $q = x^2 + y^2 + 3z^2$. De vraag is nu: representeert deze kwadratische vorm nul? Toen ik even geleden vertelde wat kwadraten zijn merkte ik terloops op dat $a^2 \ge 0$ is. De enige mogelijkheid voor $a^2 = 0$ is als $a = 0$. We zien dus dat $q \ge 0$ omdat we allemaal kwadraten optellen. De enige mogelijkheid voor $q = 0$ is als we beginnen met $(x,y,z) = (0,0,0)$.

In het Proseminar gaat het over “kwadratische vormen over Q”. Die Q is belangrijk. Dat betekent namelijk dat we alleen maar met breuken van gehele getallen mogen werken. Door één plusteken te veranderen in een minteken krijgen we een uitdaging voor de geïnteresseerde lezer:

Puzzel. Laat zien dat $q = x^2 + y^2 – 3z^2$ niet nul representeert met breuken.

(De input $(1,\sqrt{2},1)$ geeft wel 0 als output, maar $\sqrt{2}$ is geen breuk!)
Hints voor de puzzel: Neem aan dat er wel een oplossing is die nul representeert en leid een tegenspraak af. Door de oplossing met een geschikte breuk te vermenigvuldigen kan men aannemen dat $(x,y,z)$ gehele getallen zijn, die niet allemaal deelbaar zijn door 3. Laat zien dat $x^2$ en $y^2$ wel deelbaar moeten zijn door 3. Leid daaruit af dat $x$ en $y$ allebei deelbaar zijn door 3. Hieruit volgt dat $3z^2$ deelbaar is door 9. Dit betekent dat $z$ ook een factor 3 heeft, en dit is in tegenspraak met onze aanname. Conclusie: de oplossing waar we mee begonnen bestaat helemaal niet!

Tenslotte nog iets over mijn onderzoek. Ik heb afgelopen zomer mijn proefschrift verdedigd. Die bestond uit twee delen, en het is de bedoeling dat die twee delen in wetenschappelijke tijdschriften gepubliceerd worden. Afgelopen week kreeg ik bericht dat het eerste deel is geaccepteerd door een tijdschrift. Dat zal dus binnenkort verschijnen.

Het tweede deel heeft langer op zich laten wachten. Dat komt omdat ik me realiseerde dat ik een betere versie van mijn resultaat kon bewijzen. Maar dat kostte wel de nodige hoofdbrekens. Twee weken geleden heb ik dat project eindelijk af kunnen ronden. Het resultaat staat nu op de arXiv server: https://arxiv.org/abs/1804.06840. Dat is een website waar wetenschappers hun afgeronde artikelen kunnen uploaden voordat ze geaccepteerd zijn door een vaktijdschrift. Deze week ga ik dat artikel indienen bij een tijdschrift, en dan zal het door andere wiskundigen worden beoordeeld. Dat proces duurt grofweg een jaar. Nog even geduld dus. (En als er dan nog foutjes ontdekt worden en/of het artikel geweigerd wordt, dan komen daar nog luttele maanden bij.)

In de komende maanden ga ik in ieder geval aan de slag om een ander project af te ronden. Dat heeft al anderhalf jaar in de koelkast gelegen omdat mijn proefschrift en de andere artikelen voorrang kregen. Daarnaast heb ik in de loop van de tijd ook ideeën verzameld voor nieuwe projecten. Dus voorlopig zal ik me niet vervelen!

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *