De sprong van Vieta

Zoals aangekondigd zit ik zonder wifi bovenop een Alpentop. En toch een blogpost. Omdat ik er eentje in de wachtrij heb gezet. Houd u vast. Dit wordt een lange zit. Het is tenslotte vakantie.

Ieder jaar wordt de internationale wiskunde olympiade georganiseerd, waar middelbare scholieren door het oplossen van wiskundeproblemen kunnen strijden om eeuwige roem (-; De wedstrijd duurt twee dagen. Beide dagen krijgen de deelnemers 3 puzzels voorgeschoteld, en hebben ze vier-en-een-half uur de tijd om die puzzels op te lossen. Een perfecte score is uitzonderlijk, en erg zeldzaam.

Een puzzel

Vandaag wil ik jullie iets vertellen over de zesde opgave van de wedstrijd van 1988. De zesde opgave is altijd de lastigste opgave, en de opgave die we nu bekijken is zelfs berucht om zijn moeilijkheid. (Ik geef meteen toe dat ik de opgave niet zelf heb opgelost zonder te spieken.) Verscheidene professionele wiskundigen kregen de opgave voorgeschoteld, maar konden deze harde noot niet binnen 6 uur kraken.

De opgave: Laat $a$ en $b$ twee gehele getallen zijn, met $a \ge 0$ en $b \ge 0$. Stel dat $(a \cdot b + 1)$ een deler is van $a^2 + b^2$. Dan is $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ een kwadraat.

Met andere woorden: Als de breuk $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ gelijk is aan een of ander geheel getal $k$, dan bestaat er een geheel getal $d$ zodat $k = d^2$.

Als u deze puzzel wilt oplossen zonder verdere tips, dan moet u nu stoppen met lezen.


Het plaatje

Om een beetje gevoel voor het probleem te krijgen, toon ik u nu de grafiek van $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$.

Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd met Gnuplot]

Een eerste opmerking: In de opgave kijken we naar gehele getallen $a$ en $b$. In deze grafiek worden de waarden voor alle $a$ en $b$ op de getallenlijn getoond. Anders zouden we alleen een losse verzameling punten zien. Vanaf nu kijken we alleen nog maar naar punten $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.

De grafiek is dus enorm stijl dicht bij de assen, en heel erg vlak verder bij de assen vandaan. Er is ook een bepaalde symmetrie. Dat is niet toevallig, want de formule is ook symmetrisch in $a$ en $b$. Dus de waarde bij $(a,b)$ is gelijk aan de waarde bij $(b,a)$. Vanwege deze symmetrie mogen we in de opgave aannemen dat $a \le b$ geldt. Zo niet: dan verwisselen we $a$ en $b$ gewoon.

De gekleurde lijnen in het vlak op de bodem van de afbeelding zijn zogeheten contourlijnen. De rode lijn bestaat precies uit alle punten $(a,b)$ waarvoor $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = 4$ geldt. Zoals te zien in het plaatje bestaat iedere contourlijn uit twee losse stukken. Een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a < b$ geldt, en een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a > b$ geldt.

Dat klopt niet helemaal. Er zijn natuurlijk ook nog de punten $(a,b)$ waarvoor $a = b$ geldt. Dat is de diagonaal in het vlak. Laten we eens kijken wat er bij die punten gebeurt. Dan geldt $\frac{a^2 + a^2}{a \cdot a + 1} = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = k$. Dus $2a^2 = k \cdot (a^2 + 1) = k \cdot a^2 + k$. De waarden in de grafiek zijn positief, dus $k$ is positief. De enige manier waarop deze gelijkheid kan gelden is als $k = 1$. En… $1$ is een kwadraat. Dus voor de punten $(a,a)$ op de diagonaal is de opgave waar.

Aan de slag

Goed. Dan kunnen we nu terug gaan naar de punten $(a,b)$ met $a \ne b$, die dus niet op de diagonaal liggen. De opgave zegt dat als $a$ en $b$ gehele getallen zijn, en op de contourlijn van waarde $k$ liggen, dan is $k$ een kwadraat. Met andere woorden: Als $k$ geen kwadraat is, dan mag de contourlijn van $k$ dus geen enkel “gridpunt” bevatten. (Met een “gridpunt” bedoel ik een punt $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.)

Laten we dat dus maar proberen te doen. Neem een getal $k$, en bekijk de contourlijn van $k$. Zoals gezegd bestaat die uit twee delen. Het deel $H$ (hoog) van punten $(a,b)$ met $a < b$, en het deel $L$ (laag) van punten $(a,b)$ met $a > b$.

Twee gevallen

Nu gaan we een slimme truc toepassen. Dat gaat als volgt. Stel dat er een gridpunt $(a,b)$ bestaat in $H$, dus met $a < b$. Nu moeten we twee gevallen bekijken. Het geval $a = 0$, en het geval $a > 0$. Voordat we die gevallen bekijken, leg ik eerst uit wat de strategie is. In het geval $a = 0$ laten we zien dat $k$ een kwadraat is. En dus zijn we klaar. De opgave is voor dat geval bewezen.

In het andere geval, met $a > 0$ gaan we een nieuw gridpunt bouwen, zeg $(c,d)$, met de volgende eigenschappen: het punt $(c,d)$ ligt ook op $H$, en $d < b$. We hebben dan dus een nieuw gridpunt op $H$ met een kleinere $y$-coördinaat dan het oude punt. Nu kunnen we voor dit nieuwe punt weer de twee gevallen bekijken: ofwel $c = 0$, ofwel $c > 0$. Als $c = 0$ dan volgt opnieuw dat $k$ een kwadraat is. Als $c > 0$, dan kunnen we een nieuw gridpunt bouwen met een lagere $y$-coördinaat en… het proces herhaalt zich.

Maar het proces moet wel een keer stoppen! Want voor de punten $(x,y)$ op $H$ geldt $x < y$. En we vinden telkens een nieuw punt met een lagere $y$-coördinaat. Dus de $x$-coördinaat wordt ook steeds kleiner. Daarom moeten we na eindig veel stappen een keer een gridpunt vinden met $x = 0$. Zoals beloofd, is de opgave dan bewezen.

Terug naar ons oorspronkelijke punt $(a,b)$. Nu moeten we dus nog twee dingen doen: als $a = 0$ moeten we laten zien dat $k$ een kwadraat is, en als $a > 0$ dan moeten we een nieuw punt op $H$ maken met een kleinere $y$-coördinaat.

Stel dat $a = 0$. Dan zegt onze vergelijking $\frac{0^2 + b^2}{0\cdot b + 1} = k$. Oftewel $b^2 = k$. En, inderdaad. We zien dat $k$ een kwadraat is.

De sleutelsprong

Op naar het volgende geval. Stel dat $a > 0$. We moeten een gridpunt $(c,d)$ maken dat op $H$ ligt, dus $\frac{c^2 + d^2}{c \cdot d + 1} = k$ en $c < d$. Daarnaast willen we ook dat de $y$-coördinaat kleiner wordt, dus $d < b$.

Omdat ons punt $(a,b)$ op $H$ ligt, geldt $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = k$. Dat kunnen we omschrijven naar $a^2 + b^2 = k \cdot (a \cdot b + 1)$. Die vergelijking kunnen we nog weer een beetje verder omschrijven naar $$b^2 – (a \cdot k) \cdot b + (a^2 – 1). \qquad (\star)$$

We zien dus dat $b$ een nulpunt is van de parabool $f(X) = X^2 – (a \cdot k) \cdot X + (a^2 – k)$. Kies nu het punt $c = a \cdot k – b$. Met een klein beetje rekenwerk zien we dat $g(X) = (X – b) \cdot (X – c) = X^2 – (b + c) \cdot X + (b \cdot c)$. Maar $b + c = a \cdot k$, en $$b \cdot c = b \cdot (a \cdot k – b) = a \cdot b \cdot k – b^2.$$ Over deze vergelijking kunnen we nog iets meer zeggen. Want we weten hebben ook vergelijking $(\star)$. Door deze twee vergelijkingen te combineren, vinden we $b \cdot c = a^2 – k$.

Dat is bijzonder! Dat betekent dat $f(X) = g(X)$, en dus dat $c$ ook een nulpunt is van de parabool $f(X)$. De twee formules $a \cdot k = b + c$ en $a^2 – k = b \cdot c$ staan bekend als de formules van Vieta. Dat is de Vieta uit de titel van deze blogpost. En nu komt de sprong van Vieta.

Omdat $c$ een nulpunt is van de parabool $f(X)$, weten we dat $$c^2 – (a \cdot k) \cdot c + (a^2 – k) = 0.$$ Dat kunnen we weer omschrijven naar $a^2 + c^2 = k \cdot (a \cdot c + 1)$, en dus naar $\frac{a^2 + c^2}{a \cdot c + 1} = k$. Met andere woorden: $(a,c)$ is een nieuw punt op de contourlijn van $k$! We zijn met de formules van Vieta naar een ander punt gesprongen.

Zoals gezegd bestaat de contourlijn van $k$ uit twee delen. Het deel $H$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x < y$ geldt. En het deel $L$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x > y$ geldt. Laten we nog een keer kijken naar een plaatje van de contourlijnen.

De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd door Gnuplot.]

In dit plaatje zijn de contourlijnen geprojecteerd op het vlak. We kunnen hier een interessante observatie doen. Als we een contourlijn kiezen (dus een gekleurde lijn in het plaatje), dan zijn er voor iedere $x$-coördinaat maar twee mogelijke punten op de contourlijn. Een punt onder de diagonaal, en een punt boven de diagonaal. (Dit is natuurlijk geen bewijs, maar deze blogpost is lang genoeg. In het bijzonder is het niet duidelijk dat het nieuwe punt boven de $x$-as ligt. Een puzzeltje voor de enthousiaste lezer…)

Het punt $(a,c)$ ligt dus op de contourlijn van $k$. En het heeft dezelfde $x$-coördinaat als het punt $(a,b)$. Dus weten we dat $(a,c)$ onder de diagonaal ligt. Met andere woorden, $a > c$, en dus ligt $(a,c)$ in $L$.

Nu gebruiken we de spiegelsymmetrie die we helemaal aan het begin hebben opgemerkt. Als $(a,c)$ op de contourlijn van $k$ ligt, dan ook $(c,a)$. Omdat we spiegelen in de diagonaal, ligt $(c,a)$ in $H$. Inderdaad: $c < a$.

En nu zijn we klaar. We moesten een nieuw punt $(c,d)$ maken dat in $H$ ligt en een kleinere $y$-coördinaat heeft dan $(a,b)$, dus $d < b$. Welnu, $(c,a)$ ligt in $H$, en heeft $y$-coördinaat $a$. En zoals gezegd geldt $a < b$, omdat het oorspronkelijke punt $(a,b)$ ook in $H$ ligt.

Einde bewijs. QED.

Als u tot hier hebt door gelezen: mijn complimenten! En een hele fijne vakantie toegewenst.

Vakantie

“Op vakantie gaan betekent: je dagelijkse bezigheden uitvoeren in primitievere omstandigheden dan je normaal gewend bent”.

Tjah, daar sta je dan met een tas kleding in de hand, slalommend tussen de zwemspullen en de spelletjes door op weg naar de auto. Is dat echt zo? Halen we ons met het hele vakantie-gebeuren eigenlijk vooral een hoop ongemak op de hals? Feitelijk wel natuurlijk: alles moet ingepakt worden, de was moet nog even worden weggewerkt terwijl je de te wassen kleren nog aan hebt, het huis moet netjes “voor als de buurvrouw de plantjes komt gieten”, we staan misschien zelfs extra vroeg op… omdat het vakantie is?! En dan moet ook nog de koelkast precies leeggegeten worden, moeten we een eind in de auto zitten, laten we het grootste deel van ons speelgoed thuis, hebben we op vakantie geen internet 🙂 … Tjonge jonge.

En toch hebben we er zin in. Dan moet zo’n vakantie toch wel iets heel bijzonders en verfrissends zijn. Ik denk dat daar vier dingen bij meespelen:

  1. In een andere omgeving zijn, is leuk en verfrissend. We verheugen ons op de bergen, op het verkennen van “ons” dorpje, op het ontdekken van leuke picknickplekjes en het zien van watervallen. “Er even uit zijn” is niet voor niets een populair begrip.
  2. In ons geval: samen zijn met familie die we anders niet zo vaak spreken. Ons kleine nichtje zien, spelletjes doen met broers en zussen, op avontuur met opa… Kortom alle kleine dingetjes die we best wel missen nu we in Duitsland wonen. En we hopen natuurlijk op oppas zodat Johan en ik met z’n tweetjes een avondwandeling kunnen maken of ergens ongestoord een stukje appeltaart kunnen eten!
  3. Afstand nemen van ons werk. Goed, niet van 80% van mijn werk, want de kinderen gaan natuurlijk mee en we moeten daar ook eten. Maar wel van de dagelijkse sleur en vooral voor Johan ook van wiskunde. Zijn hoofd uitzetten zal wel niet helemaal gaan, maar als z’n laptop thuisblijft en hij niet op internet kan, scheelt dat toch al een heel stuk. Ik heb goede hoop dat dat uiteindelijk meer ontspant dan thuis op de bank zitten. We komen vast helemaal relaxed terug.
  4. Tijd hebben voor leuke dingen. Lezen, wandelen, spelletjes doen, enzovoorts. Als je normaalgesproken 40 uur per week werkt en ook nog heen en weer reist, zou je in de vakantie toch aan andere dingen toe moeten komen. Aangezien Johan permanent een grote stapel boeken heeft liggen die smeken om gelezen te worden, komt dat bijzonder goed uit. Nu nog hopen dat onze kinderen zich ook vermaken, die hebben op vakantie natuurlijk niet al hun speelgoed bij zich. En we zitten dit keer niet op een camping met drie speeltuinen en een zwembad. Maar we hebben wel een animatieteam 😉

Ik zei het al: we hebben daar geen internet. Dus we kunnen ook geen blogs plaatsen. Dat betekent dus twee weken stilte hier! We zullen achteraf verslag doen hoe ontspannend en inspirerend onze vakantie was. Tot later!

Ollie

Hieronder zien jullie Judiths favoriete boek. Het gaat over Gonnie en Gijsje, twee parmantige gansjes met laarsjes aan. Die laarsjes waren de aanleiding waarom oma Paula ons dat boek gegeven heeft: er staat een gansje in met één blauw en één rood laarsje. Dat is een stukje familiegeschiedenis. Toen Johan klein was had hij rode laarsjes, maar er was er eentje kwijtgeraakt. Vervolgens werden er nieuwe laarsjes gekocht, precies dezelfde maar dan in het blauw. En ook daar raakte er eentje van kwijt! Vanaf toen lopen kleine Commelinnetjes dus op één rood en één blauw laarsje. Judiths voeten zijn inmiddels alweer te groot geworden, maar we bewaren de laarsjes nog trouw voor het volgende kindje in de familie 🙂

Het leukste aan het boek is dat je op de kaft een klepje omhoog kunt duwen, waardoor er een klein gansje uit het ei komt. En dat is meteen het favoriete verhaaltje in dit boek: Gonnie en Gijsje zien een ei. In dat ei zit Ollie, een klein gansje. Maar Ollie wil er niet uit! Een heel verhaal lang proberen Gonnie en Gijsje hem zo ver te krijgen dat Ollie uit het ei komt, maar hij doet het niet! “Ik kom er niet uit!” “Ik kom er echt niet uit!” “Ik kom er toch niet uit!” Die zinnetjes worden door onze jongedame steeds weer herhaald, tot ze dan met een grote grijns het klepje omhoogduwt: “Komme toch uit!”

Zie je hoe boos Gonnie en Gijsje zijn? Die Ollie trekt zich er niks van aan 🙂

Het blijft een kostelijk herkenbaar verhaaltje. Een verdraaid eigenwijs klein gansje dat ECHT NIET gaat doen wat de anderen van hem vragen. Ze kunnen achter hem aan rennen, ze gaan zelfs bovenop het ei zitten, ze trekken alles uit de kast – maar die kleine doet gewoon precies wat ‘ie zelf wil. Ik herken daar wel iets in. Niet dat ik zelf eigenwijs ben natuurlijk. Maar onze Judith kan er wat van… Regelmatig heeft ze geen zin om mee te gaan als ik Boaz op moet halen van de Kindergarten (en als we er eenmaal zijn wil ze niet mee terug naar huis). Ze wil dan haar schoenen niet aan, haar helm niet op, ze gaat gewoon NIET MEE! Gelukkig heeft ze nog de leeftijd dat ik haar gewoon onder de arm kan pakken en in het fietsstoeltje kan planten, maar gezellig is anders. Ze maakt haar protesten luidkeels kenbaar, en de hele buurt geniet mee. Vasthoudend is ze ook. Gister heeft ze het 1,3 van de 1,5 km volgehouden om als een soort mantra te herhalen: “Ikke ga niet mee. Ikke ga niet mee. Ikke wil niet mee. Ikke ga echt niet mee” [herhaal]. Dat ze ondertussen al lang achterop zat en tegen wil en dank toch richting Kindergarten convergeerde, dat deed er kennelijk niet toe.

Ik heb zelfs heel pedagogisch geprobeerd om haar de gelijkenis met Ollie onder ogen te brengen. Maar daardoor raakte ze zo mogelijk nog meer beledigd: “Ikke IS NIET OLLIE! Ik ga niet mee. Ikke ga niet mee. Ik ga toch echt niet mee”…

Gijsje en Gonnie losten het probleem uiteindelijk op door weg te lopen en te zeggen: “Dan kom je er toch niet uit!” Maar dat werkt bij Judith niet meer. Als ik wegloop en zeg: “Dan moet je maar alleen thuis blijven. Mama gaat nu weg”, dan is er 50% kans dat ze dat een prima oplossing vindt. Dus ja, dat heeft niet meer het gewenste effect. Mij blijft weinig anders over dan mijn tegenstribbelende “ei” maar gewoon op te pakken en in de gordels te zetten. Gelukkig is deze strijd na de zomervakantie waarschijnlijk een stuk minder: dan mag madame zélf naar de Kindergarten. En daar is ze het roerend mee eens. Alweer net als Ollie, want kijk maar op de laatste bladzijde hierboven. Ollie is nog maar net uit zijn ei, of hij wil OOK! Als hij niet meteen krijgt wat hij wil – omdat hij het nog niet heeft gevraagd – stampt hij heel boos in het rond. Pas als hij ook laarsjes krijgt, net als de groten, is hij tevreden. Dan stapt hij twee rondjes en besluit vervolgens dat de laarsjes toch te warm zijn en dat ‘ie iets anders wil.

Hier houdt de gelijkenis op, wat mij betreft. Als Judith straks naar de Kindergarten mag, is ze helemaal tevreden. Dan gaat ze elke ochtend vrolijk de deur uit en speelt dat het een lieve lust is. En het rode en blauwe laarsje staan te wachten tot het volgende kindje in onze familie uit zijn “ei” komt. Ik ben benieuwd of die net zo eigenwijs gaat zijn 🙂

Geestelijke wapenrusting

De afgelopen tijd hebben we bij onze zondagse Bijbelmomenten nagedacht over de geestelijke wapenrusting. Niet direct een makkelijk thema, maar het sprak onze kinderen – vooral ridder Boaz – wel erg aan. De kunst is dan natuurlijk om het leuk te houden met knutselwerkjes enzo, én ze iets mee te geven van de achterliggende theologische concepten en Bijbelse ideeën. Dat laatste probeerden we door steeds weer in gesprek te gaan, en door elke week de elementen van de wapenrusting weer te benoemen aan de hand van een soldaatje dat we steeds verder “aankleedden”.

Als eerste was de gordel van de waarheid aan de beurt. Een Romeinse soldaat met zo’n losse tunica kon makkelijk over z’n kleren struikelen. Daarom had hij een stevige riem nodig. Net zo moeten wij geworteld zijn in de waarheid, ons wereldbeeld bouwen op Gods Woord, om niet te struikelen.

Als tweede kwam het borstharnas van de gerechtigheid aan de beurt. Daar moesten we zelf ook even over nadenken. Wat betekent dat precies? Uiteindelijk kwamen we uit op het concept van “toegerekende gerechtigheid”. Een hele mondvol, en niet meteen Jip-en-Janneke-taal. Maar met een knutselwerkje kwamen we er aardig uit.

Het borstharnas beschermt ons hart en onze gevoelens. Satan wil onze gevoelens graag de verkeerde kant op sturen, hetzij door ons trots te maken (“Kijk eens hoe goed ik ben, God zal vast blij met mij zijn!”) of door ons depressief en onzeker te laten zijn (“Ik ben zo slecht, de Heere wil mij vast niet…”). Maar onze redding is niet gebaseerd op onze eigen gerechtigheid en prestaties, maar alleen op die van Jezus. Als we in Hem geloven, neemt Hij ons vuile hart op Zich en krijgen wij Zijn gerechtigheid (uitgebeeld als het gouden hart). Met een splitpennetje konden we dat mooi laten zien. En als we dit in gedachten houden, zijn we beschermd tegen satans aanvallen.

Na de gordel en het borstharnas kwamen we bij de schoenen/sandalen van de bereidheid van het Evangelie van de vrede. Pfoe, dat was een hele mondvol. En ook die begrepen we pas na er meer over gelezen te hebben. Schoenen zijn nodig om niet uit te glijden, om stevig te staan. In het leven moet je ook stevig staan, zodat je niet van het juiste pad afglijdt. Hoe doe je dat? Door de bereidheid van het Evangelie van de vrede. Anders gezegd: als je het hoogste belang hecht aan de goede boodschap van God die vrede brengt tussen Hem en jou. Dat Evangelie is zoveel waard, dat je er alles voor over hebt, ook de moeilijkheden en verantwoordelijkheden die ermee gepaard kunnen gaan. Als dat je uitgangspunt is kun je stevig staan, ook als je misschien het gevoel hebt dat je principes schadelijk zijn voor je carrière, of onaangenaam voor mensen om je heen, of een streep halen door je eigen verlangens. Het Evangelie is dat allemaal waard, en daarom hoef je geen water bij de wijn te doen.

Hierna kwam het schild van geloof. Dat was makkelijk qua werkje: een stuk karton met een handvat eraan, en versieren maar. Met zo’n schild kun je vijandelijke pijlen afweren. Zo kunnen we door het geloof de aanvallen van satan (a) doorzien en (b) afweren – hetzij directe aanvallen, hetzij aanvallen via andere mensen. Als voorbeeld namen we Paulus die in de gevangenis zat en bovendien in de steek gelaten werd door medegelovigen. Maar hij liet zich niet in de put brengen; hij was sterk in het geloof.

Een week later kwam de helm van de (hoop op de) zaligheid. Dat zag er heel stoer uit 😉

Een helm beschermt iemands hoofd. Zo helpt de hoop op Gods heerlijke toekomst om onze gedachten te beschermen. Als het leven soms moeilijk is, als we geneigd zijn het bijltje erbij neer te gooien, dan krijgen we nieuwe moed door te denken aan de nieuwe hemelen en de nieuwe aarde die de Heere beloofd heeft.

En toen kwam dan eindelijk, eindelijk het zwaard aan de beurt. Daar is naar uitgezien 😉 Ik heb ze expres alleen een kartonnen zwaard laten maken, daarmee bleef de schade beperkt 🙂 En je kunt het mooi versieren natuurlijk.
Inhoudelijk bespraken we het verhaal over Jezus die in de woestijn verzocht werd. Bij elke aanval van satan antwoordde Jezus met een citaat uit Gods Woord. Daarmee worden satans halve waarheden onderuit gehaald, en uiteindelijk slaat hij dan op de vlucht. Om dit zwaard te kunnen gebruiken is het dus enorm belangrijk om de Bijbel goed te kennen!

We hebben heel wat geleerd. Ik heb niet de illusie dat alle moeilijke woorden en concepten nu voor eens en voor altijd in ons hoofd zitten, maar er is in ieder geval weer een stap gezet. Stapje voor stapje gaan we door, zodat we hopelijk allemaal als goed bewapende soldaten het leven in kunnen gaan. In Gods kracht, in verbondenheid met Hem – daar gaan we het morgen nog over hebben, als afsluiting van onze serie. En dan is het tijd voor vakantie 🙂 Dan hopen we weer andere thema’s aan te snijden, aansluitend op “wandelen” en “bergen” enzo… 🙂 🙂

Tijdrovende administratie

Ergernis nummer één voor Johan: administratieve klusjes die zijn halve werkdag vullen, en waarbij hij het gevoel heeft dat iemand anders het vijf keer sneller had gekund. Bijvoorbeeld zaaltjes reserveren voor een collegeserie van volgend cursusjaar, voor biologiestudenten in het biologiegebouw. Als dat gedaan moet worden door een wiskundige post-doc, dan betekent dat dus drie keer heen en weer vragen en uitleggen enzovoorts, en tenslotte gaat het nog verkeerd omdat hun systeem weer anders werkt dan dat bij wiskunde. Het is momenteel zo bont dat hij vooral ’s avonds thuis “echt werkt”, aan de universiteit wordt hij alleen maar lastig gevallen en afgeleid 😉

Bij de kinderarts/huisarts hebben ze hetzelfde probleem. Hopeloos. Ze zijn de hele dag druk met allerlei administratie, en nemen daarom maar gewoon geen telefoon meer op. Gevolg: als je een afspraak wilt maken moet je langskomen en sta je een kwartier in de rij te luisteren naar alle administratieve verzuchtingen en onophoudelijk jengelende telefoons voordat je zelf je wensen kunt voorleggen.
Wij waren gisteren de klos. Hannah had een sportwedstrijd van school, en bij dat veld lag gebroken glas op de grond. Toen onze meis een bal wilde oprapen raapte ze dus meteen ook een glasscherf op, en had ze een fikse snee in haar hand. De meester belde of ik haar op kon halen. Toen ik daar aankwam kwam Hannah gelukkig al naar me toe gerend en zag ze er redelijk fris uit, maar het leek de meester toch raadzaam als er even een arts naar haar hand keek. Bellen leverde weer niks op, dus zijn we maar langsgereden. Het was toch bijna lunchpauze in de praktijk, dat is de enige tijd van de dag dat er minder dan drie kwartier wachttijd is…
Eenmaal aan de balie was het probleem meteen wel duidelijk, maar oh grote griebels het was een “schoolongeval”. Dat zet meteen een heel protocol in werking: er moet worden genoteerd wat er is gebeurd, waar het is gebeurd, hoe laat het precies is gebeurd (dat hoef je niet op de minuut af te weten, je moet alleen overtuigend klinken als je een gok doet), hoe dit kon gebeuren, onder verantwoordelijkheid van welke school het is gebeurd, waar die school normaliter gevestigd is (ook al was dit op het sportveld), hoe laat de school die dag was begonnen, hoe laat de school die dag uit was (ook al was Hannah natuurlijk allang weg tegen die tijd), hoe lang Hannah al op school zat (aiaiai, ze zit bijna twee jaar op school, maar nog niet zo lang hier, WAT MOET ER NU INGEVULD WORDEN?), en zo nog een paar dingen. De assistente verzuchtte zelf ook al: “Ik heb geen idee waarom ze dit allemaal moeten weten of wie hier ooit in geïnteresseerd gaat zijn, maar ik moet het allemaal invullen”. De mensen achter ons in de rij hadden er vast alle begrip voor.

Toen we eenmaal bij de arts aan de beurt waren, was die in vijf minuten klaar, want er hoefde gelukkig niets gehecht te worden. Maar ze moest begrijpelijkerwijs wel even checken of Hannah ingeënt is tegen tetanus. Dat was in orde, maar ik had er geen schriftelijk bewijs van in m’n tas. Dat moest ’s middags nog even langs gebracht worden, “voor de administratie”. Wij ’s middags door de hitte weer die kant op, maar toen zat er een andere vrouw aan de balie die me vol onbegrip toevoegde: “Maar voor zulke dingen heb ik toch helemaal geen TIJD?”. Ja sorry mevrouw, het is niet mijn idee 🙂 U mag ons inentingsbewijs tot en met vrijdag houden, en we wensen u veel succes bij het vinden van een gaatje om dit in te voeren in uw administratie. Daarna heeft de dokterspraktijk namelijk twee weken welverdiende vakantie…

En dan de centrale administratie van de gemeente Bad Krozingen die verantwoordelijk is voor de Kindergartens. Voordat we hierheen verhuisden had ik Boaz daar opgegeven, met onze voorkeur voor Kindergarten Regenbogen. Het duurde allemaal nogal lang, dus intussen hadden we zelf al lang en breed contact gelegd met die Kindergarten, waren op kennismakingsgesprek geweest, en zodra er een plekje vrij kwam is onze kerel daar welkom geheten. Inmiddels zit hij er al meer dan een jaar, tot volle tevredenheid van alle betrokken partijen. En tadaaaa… vorige week kreeg ik een mailtje dat er een toezegging is van de Kindergarten dat Commelin Boaz Geurt Nathanael bij hen mag beginnen. Nadere info kan ik daar opvragen, maar ze konden alvast melden dat hij mag beginnen op 01.04.2018.

Ja, echt.

Het is toch geweldig. En het leukste van alles: “Diese Nachricht wurde automatisch erzeugt.” Gelukkig maar. Ik was even bang dat iemand anderhalf jaar lang had zitten zweten op deze beslissing en alle ambassades had afgebeld of er misschien nog ergens een strafblad van onze zoon bekend was dat de beslissing nadelig zou kunnen beïnvloeden, maar nee. Het was gewoon een computer die een beetje tijd nodig had. Waarschijnlijk was hij druk met andere administratieve bezigheden B-)

Musical

Weten jullie wie dit is? Dat is Hannah, de vrouw van Cham 😉

Vandaag was het éindelijk zover, na een half jaar oefenen. Hannahs school voerde een musical op over Noach. Alle ouders, broers, zussen en andere belangstellenden mochten komen kijken en luisteren. En aansluitend was er dan op school het zomerfeest, om tegen het einde van het schooljaar nog een keer als school bij elkaar te komen onder het genot van allerlei lekkers. En om voor het eerst in het bestaan van deze school afscheid te nemen van de oudste groep: die hebben er nu vier jaar Grundschule opzitten en gaan naar het voortgezet onderwijs.

Een beeld zegt meer dan een verhaaltje, dus hieronder een paar foto’s:

Dit is het koor (in regenboogkleuren!) met daarnaast Noachs familie en een paar buren. Veel liederen werden gezamenlijk gezongen, maar er waren ook stukjes waarin een paar kinderen apart zongen of een toneelstukje opvoerden. Samen werd zo het hele verhaal over Noach verteld, van de eerste plankjes die gezaagd werden voor de ark tot de belofte van God dat er nooit meer zo’n zondvloed zou komen. We hebben er drie kwartier lang van genoten!

Bloedserieus aan het zingen en spelen

De kinderen hadden het zichtbaar warm in hun kostuums, maar het zag er wel heel “echt” uit en ze zaten goed in hun rol. Het vele oefenen heeft z’n vruchten afgeworpen. Nu hebben ze nog een week school, daarna zomervakantie, en dan mogen ze dezelfde musical nog een keer opvoeren: op het Einschulungsfest waarop de nieuwe eersteklassers welkom worden geheten. Een warmer welkom kan je je toch nauwelijks voorstellen! 🙂

Wat is dát nou weer voor woord?

Jullie herkennen het vast. Soms ben je een tekst aan het schrijven of typen met woorden die je al lang kent en die je regelmatig gebruikt, en dan bekruipt je ineens het merkwaardige gevoel: “Wat ben ik hier eigenlijk aan het doen? Dit is toch helemaal geen woord??? Schrijf je dat echt zo?”

Ik had dat vorige week, toen ik een artikel schreef over “de kerk”. Dat moest in het Engels, dus ging het over “the church” dit en “the church” dat. Als je dat 10 keer in korte tijd doet, wordt het ineens een heel gek woord. Probeer zelf maar eens.

(Hiervoor heb ik net uitgelegd dat de kerk in het Nieuwe Testament benoemd wordt als de tempel van God.)
‘This temple is built by Jesus Christ Himself. He gives us the assurance that “I will build my church, and the gates of hell shall not prevail against it” (Matthew 16:18).
This is not to say that the church is already perfect. History has shown the contrary. Since the church consists of humans who remain sinful despite being saved, sin and brokenness are present in the church as well.’

Als je dat woord eens even “proeft” en er goed naar kijkt, dan ziet het er zo gek uit. En het klinkt ook helemaal niet. Dat kan toch niet goed gespeld zijn zo…? Wat heb ik hier nou eigenlijk voor onzin neergekladderd…? Ik vroeg het zelfs oprecht aan Johan. Maar hij had de tekst niet geschreven, dus hij had nog een heldere blik 😉 Én hij kon me verder helpen in mijn verwarring. Dit verschijnsel is namelijk geen teken van afnemende hersencapaciteit of een naderende overspannenheid, het heet gewoon “semantische verzadiging” en het kan iedereen overkomen.

Kijk, dat lucht op. Altijd handig om een man te hebben die dit soort kennis in een laatje in z’n hoofd heeft opgeslagen.

Voor jullie informatie citeer ik een stukje van de Wikipedia-pagina – die kan het beter uitleggen dan ik. “Semantische verzadiging is een psychologisch verschijnsel waar het steeds herhalen van een woord leidt tot een (tijdelijk) verlies van betekenis bij de toehoorder die het woord dan interpreteert als een herhaalde reeks betekenisloze klanken. Als een persoon vele malen hardop het woord “badkuip” uitspreekt is de kans groot dat op een gegeven ogenblik het woord zijn betekenis voor de uitspreker verliest, er wordt niet meer aan het desbetreffende sanitair gedacht maar wordt er alleen maar een geluid waargenomen dat met geen enkel begrip geassocieerd wordt.”

Zie je? Dat is dus precies wat ik bedoelde, behalve dat ik het ook heb als ik een woord steeds opnieuw typ in plaats van uitspreek. Misschien moet dat verschijnsel dan nog weer een aparte benaming krijgen, maar voorlopig scharen we het hier maar onder. (“Typ” is trouwens ook een uitstekend geschikt woord om hiermee te experimenteren). Wikipedia kan ons zelfs haarfijn uitleggen hoe semantische verzadiging in mijn brein werkt:

“De verklaring die gegeven is voor het fenomeen is dat het hardop herhalen een specifiek neuraal patroon oplevert in de cortex dat correspondeert met de betekenis van het woord. In een hoog tempo hardop herhalen heeft tot gevolg dat zowel de centrale als de perifere sensori-motorische neuronen tegelijk afvuren, hetgeen resulteert in een verzwakte neurale reactie. Hoe vaker herhaald, hoe zwakker de reactie.”

Ik had dus gewoon te snel gewerkt kennelijk. Of ik was te eentonig in mijn woordgebruik. In ieder geval is er niets mis met mijn brein, en weet ik nou éindelijk hoe “dit” heet. Want ik heb dit wel vaker, ook met gewone Nederlandse woorden. Of Duitse, maar dat komt waarschijnlijk ook omdat ik die daadwerkelijk nog niet goed genoeg ken.

Om nog even een stapje uit te zoomen: het verschijnsel dat je er op een gegeven moment achter komt dat er echt een woord bestaat voor datgene wat jij al zo vaak hebt meegemaakt maar waar je de vinger niet op kon leggen, dat je eindelijk ineens begrijpt hoe iets in elkaar steekt, daar hebben ze alleen in het Duits een goed woord voor. Zoiets heet een Aha-Erlebnis. Om opnieuw Wikipedia te citeren: een Aha-Erlebnis is “das schlagartige Erkennen eines gesuchten, jedoch zuvor unbekannten Sinnzusammenhanges”. Kijk. Dat wou ik jullie niet onthouden. Want zo’n Aha-Erlebnis, dat kan gewoon een enorme opluchting zijn. Ook in het Nederlands 😉

Groot

Judith wist al precies wat er donderdag ging gebeuren: “Opa grooooote auto, opa veel pakketjes voor ons, vele spullen, vele eten, wij alles weerre hebben”. En ze had gelijk 😉

Het grootste “ding” dat opa dit keer bij zich had, was een stapelbed voor de dames. In stukken uiteraard, dus er moest heel wat gesjouwd worden! Ons kroost was maar al te graag bereid om te helpen, en ze hebben zich in het zweet gesleept. Daarna moest er een kast in elkaar worden gezet, en een bed, en tenslotte moest het tweede bed bovenop de kast komen. Ook daarbij werd weer ijverig geholpen met dragen, sjouwen, vasthouden, schroefjes aangeven… wat fijn dat we al zulke grote helpers hebben! 🙂

Inmiddels is de hele boel geïnstalleerd en hebben de dames al een nacht in hun nieuwe bed geslapen. In hun gróte bed dus, laat dat duidelijk zijn. Judiths ledikantje is niet meer nodig, dat is voor baby’s. Zij is nu een grote meid. En haar kleren liggen niet meer in een commode, maar in een grote kast! Nu wordt het vast nóg leuker om zich aan en uit te kleden. Ze heeft zelf goed meegedacht over de kastindeling, en besloten dat haar knuffels en al haar pyjama’s in het boekenkastje bij haar bed moeten liggen. Voor de knuffels is dat heel gezellig, en Judith kan bij het naar bed gaan probleemloos uit al haar pyjama’s kiezen. Dat is best belangrijk natuurlijk 😉

Boaz sliep tot nu toe heerlijk in een peuterbed – een hele mooie, met een soort tent erop. Maar nu Hannahs bed over was, wilde hij ook wel een stapje “groter”. Dus hebben we opa’s auto op de terugweg opnieuw volgeladen. Een buurvrouw vroeg zich al af of we aan het verhuizen waren… Nee hoor, het blijft beperkt tot een interne verbouwing. Voorlopig vinden we dat genoeg.

Nu slaapt dus ook Boaz in een “nieuw” bed, en hebben ze allemaal een ledikant van twee meter. Daarmee moeten ze ’t kunnen uitzingen tot ze volwassen zijn. Als ze te zijner tijd een nóg langer bed willen – zoals hun vader – dan gaan ze maar op kamers of ze regelen ’t zelf met opa 🙂

Update een paar uur later: het lekker gaan slapen in nieuwe bedden blijkt toch nog niet zo eenvoudig als opa eenmaal weg is. Vanavond hadden ze allemaal anderhalf uur nodig om in slaap te vallen… :/ Niet vanwege het nieuwe bed, maar vanwege mama die gitaar speelde, mama die toen maar ging naaien, Judith die lag te praten, Hannah die het lichtje uit deed (of zoiets), een zich-niet-lekker-voelende buik, en een alleen-gevoel-omdat-opa-weg-is. Het is wat. Gelukkig heeft Boaz de oplossing paraat: opa moet maar gewoon altijd bij ons komen wonen. Dat vindt iedereen veel gezelliger. 🙂

Geld

Geld is de laatste dagen hét gespreksonderwerp hier thuis. Hannah krijgt wekelijks zakgeld, de andere twee nog niet. Dat is op zichzelf natuurlijk al regelmatig aanleiding tot discussie. Maar nu heeft Judith ook een eigen “spaarpot” met muntjes erin, en is het onderwerp helemaal actueel. ’s Morgens voor het ontbijt begint het al: muntjes tellen, muntjes ruilen, vergelijken hoeveel geld ieder heeft… en natuurlijk bediscussiëren welk muntje uit welke spaarpot kwam, wie van wie heeft gestolen en zoeken of de kwijtgeraakte muntjes misschien onder mama’s bed liggen [dat zou zomaar kunnen, want Judith verstopt zich daar nogal eens].

Voor Hannah had geld deze week nog een bijzondere betekenis: haar wiebelende voortand is er éindelijk uit, na heel veel wiebelen (ook ’s nachts) en ongeduldig wachten. Ze was zelfs al aan de gang met touwtjes aan de deurklink, maar dat lukte toch niet zo goed als in de boekjes. Dolgelukkig was ze toen die tand er dan eindelijk toch uit ging. Maar wat hebben losgeraakte melktanden met geld te maken…? Dat wilde Hannah nu ook eens haarfijn uitzoeken. Bij de twee tanden die er een poosje geleden uitgingen, lag er de volgende ochtend een muntje onder haar kussen. Natuurlijk gelooft ze echt niet, heus niet, natúúrlijk niet, dat er zoiets als een tandenfee bestaat. Maar helemaal zeker was ze kennelijk toch niet, want ze had een lakmoesproef bedacht: papa was in Italië en ze ging hem niets vertellen, en dan wilde ze wel eens zien of er ook deze keer een muntje lag. En inderdaad: niks te zien. Pas toen papa een paar dagen later terug was, lag er ineens 50 cent onder haar kussen. Betrapt! 😉

Judith is natuurlijk nog rijkelijk jong om de waarde van geld te snappen. Boaz ook trouwens; die verzekert mij af en toe troostend dat hij z’n spaarcentjes goed bewaard “voor als jullie een keer arm worden – dan mag je mijn geld hebben en kan je toch nog boodschappen doen”. Heel lief bedoeld natuurlijk 😉
Judith vond vanmorgen dat mijn horloge er niet meer zo goed uitzag, en laten we nou net voorbij een juwelier fietsen!
“Mama, jij nieuwe loosje kopen!”
“Oh ja? Die zijn wel mooi, maar dat kost ook veel geld…”
Handje op mijn arm, toontje “ach jij arme schat”: “Jijje loosje kopen, ikke jou betalen!”
Haha. Ze heeft welgeteld 5 muntjes van 10 eurocent, en dan nog 3 van 50 cent. Dat is voor haar weliswaar héél veel, maar ik denk niet dat de juwelier akkoord gaat…

Op de website van het NIBUD vond ik: “Kinderen die al op jonge leeftijd leren hoe ze met geld om moeten gaan, komen later minder vaak in de financiële problemen. Aan u als ouder de taak om uw kind voor te bereiden op financiële zelfstandigheid.”
Kijk, dan komt het met ons kroost vast helemaal in orde 🙂

Verkleden

Dat gebeurt hier heel frequent de laatste weken. Judith haalt er veel voldoening uit om zichzelf meerdere keren per dag prachtig uit te dossen. Ze trekt haar kast open, gaat er ’s goed voor zitten en haalt vanalles voor de dag. Inmiddels heb ik maar gezorgd dat de winterkleren ver buiten haar bereik zijn opgeruimd, want dat werd echt te gortig. Maar zelfs nu presteert ze het nog gerust om met een lange legging, een zwembroekje en een rokje aan naar me toe te komen, met de vraag: “mama, helpe prinses?” Dan moet er dus een (prinsessen)jurk aangetrokken worden. Zonder dat is je outfit niet compleet!

Aangezien mevrouwtje een goed eind op weg is om zindelijk te worden maar ze af en toe toch nog geen zin heeft, of geen tijd… komt het ook nogal eens voor dat alles uitgetrokken en in de wasmand gegooid moet worden. En dan kan ze weer van voor af aan beginnen. Of als ze met water heeft gespeeld en alles nat is geworden (stel je voor, met deze hitte is het natuurlijk erg problematisch om een beetje nat te zijn). Of als ze gewoon zin heeft in iets “nieuws”. Of gewoon omdat het kan. Ze kan er best een poosje zoet mee zijn – en daarna ben ik weer even zoet met alle kleren sorteren, opvouwen en inruimen 😉 Maximaal een keer per dag, voor de rest laat ik lekker alles liggen of schuift ze het zelf weer “keurig” op z’n plek. Gelukkig is ze nu nog op een leeftijd dat mensen glimlachen als ze met een curieuze combinatie op straat verschijnt, of als er een jas en een muts in onze fietstas liggen bij 35 graden Celsius. En mensen die we vaak tegenkomen, weten inmiddels wat voor soort dame het is. Toen ze weer ’s volledig onnodig met een dik vest aankwam, terwijl ze eerder die ochtend met blote armen en blote benen langs was gekomen, grinnikte iemand begrijpend: “Dat heeft ze zeker zelf weer bedacht, of niet?”

Ook verder wordt er wel iets vaker verkleed dan normaal, met deze warmte wordt alles nou eenmaal sneller vies en nat en plakkerig. Gelukkig trekt de wasmachine zich niks aan van warmte, en was drogen gaat nu als een trein. Aangezien Judith met alle liefde de wasmand helpt sjouwen, en ook prima de zeep in het bakje kan doen en op de knopjes kan duwen, heb ik er uiteindelijk niet eens zoveel werk aan 😉

Ook bij ons laatste Bijbelmoment hadden we een verkleedpartijtje. Het ging over de geestelijke wapenrusting, specifiek over de gordel van de waarheid. Nu was het onze kinderen wel meteen duidelijk waarom een soldaat een zwaard en een schild nodig had, maar een gordel of riem…? Mijn ouwe trouwe badjas bood uitkomst. Toen Boaz die achterstevoren aan had, kon hij inderdaad niet lopen of rennen zonder de boel met z’n handen omhoog te houden. Maar met volle handen kun je niet vechten… Daar kwam een ceintuur toch wel heel goed van pas. Met een gordel die je kleren omhoog houdt, heb je de handen vrij om te vechten. Alleen zo kun je lopen zonder te struikelen. Vervolgens konden we uitleggen hoe je thuis moet zijn in de waarheid van Gods Woord, om niet van de weg te raken of in verwarring te raken. De komende weken hopen we steeds een stuk van de geestelijke wapenrusting te behandelen. Niet direct eenvoudige onderwerpen, maar wél heel aansprekend voor een dappere ridder en een prinses die zich graag en vaak verkleedt 😉