Huiswerk

Nu de school weer begonnen is, komt er ook weer huiswerk mee. Voor Hannah én voor mij, want aan het begin van het schooljaar moeten er soms nog wat nieuwe spulletjes worden aangeschaft (en nee, daar krijg je geen lijstje van, dat hoor je per dag en moet het liefst stante pede worden geleverd). Hannah vindt het wel grappig: “Mama, kijk maar in m’n agenda, er staat weer huiswerk in!” (met een zogenaamd zielig gezicht) “… maar niet voor mij, het is huiswerk voor jou!” (stralende snoet) 🙂

Toch moet ze zelf ook echt weer aan de slag. En dat is best weer even wennen. Het werk op zich is niet te moeilijk, maar ijverig doorwerken is wél heel lastig voor onze meis. En als je om de drie letters afgeleid bent of even gaat verzitten of je boek anders neerzet of… dan maak je natuurlijk ook sneller fouten. En dat is tegenwoordig niet meer zo gemakkelijk recht te poetsen, want ze schrijven nu ook hun huiswerk met vulpen in plaats van potlood. Er zijn dus al héél wat woorden doorgestreept en opnieuw geschreven… We proberen de moed erin te houden en het positief te bekijken: als ze nu tegen haar werkhouding aanloopt en merkt dat alles niet vanzelf gaat, kan ze er al jong aan gaan werken om haar huiswerk beter aan te pakken (en niet zoals haar papa pas na de middelbare school aan dat proces beginnen B-) ) Maar het is een hele klus elke dag.

De jongste twee vinden het woord “huiswerk” nog wel stoer, dus die willen af en toe óók. Leve de prikkaarten, kleurboeken of volg-de-stippellijn-opdrachten. Helaas is ook hun concentratieboog niet enorm 🙂 dus ligt vooral de hele tafel vol met allerlei net-begonnen werk en spel en creatieve therapie – bijvoorbeeld omdat strijkkraaltjes op vormpjes leggen best inspannend is, maar strijkkraaltjes overscheppen van het ene bakje in het andere veel makkelijker gaat. En als er dan weer eens een scheut naast rolt, zeg je snel even “sollie mama!” en ga je vrolijk verder.

En zo komen we bij de laatste soort huiswerk, namelijk de poets- en opruimklusjes die ik zou kunnen doen als de rest het huis uit is. Gelukkig hoef ik daar niet m’n hele ochtend mee te vullen, want naast huiswerk heb ik ook thuiswerk – achter m’n computer met een kopje chocomelk binnen handbereik en een plakje bananencake ernaast. En ik kreeg pas “huiswerk” van Boaz: hij vond het niet helemaal eerlijk dat ik zo vaak aan het naaien was voor mezelf of voor de meiden, maar haast nooit voor hem. Daar heeft hij natuurlijk helemaal gelijk in, want sinds hij heeft leren lopen heb ik nog nooit een broek voor ‘m genaaid en maar zelden een shirt of trui. Nu heb ik dus een heerlijk warme lap fleece met vliegtuigen erop gekocht en daarvan een trui gefabriceerd. Met voorop zo’n grote zak waar hij z’n handen in kan steken. Dat is wel nodig nu, want vanmorgen op de fiets ontdekten we weer dat het “zwetens-koud” was. Erg koud dus 😉 vooral als het ook nog “windert”. Ach ja, zo hebben we ook qua Nederlands nog wat huiswerk te doen…

Naar de Kindergarten

Voor wie het nog niet had meegekregen: onze Judith is deze week begonnen op de Kindergarten. Daarmee is een langgekoesterde wens in vervulling gegaan!

Het systeem van een Kindergarten is hier vrij flexibel. De aankomsttijd is ergens tussen half 8 en 9 uur, net wat voor de ouders goed uitkomt. Kinderen die vroeg aankomen hebben soms een ontbijttrommeltje bij zich, en verder wordt er tot 9 uur vrij gespeeld. Aangezien ik geen speciale reden had om Boaz en Judith de eerste dag vroeg te brengen, wou ik ze gewoon tegen negenen afleveren (zo doen we dat gewoonlijk: samen op pad, Hannah afzetten bij school en dan verder naar de Kindergarten). Maar Judith stond om 8 uur al klaar in de gang 🙂 Jas aan, tas op de rug, alleen haar ene sandaal ontbrak nog. Ik kon het niet over m’n hart verkrijgen om haar dan nog bijna een uur te laten wachten, dus ik heb ze maar wat eerder gebracht 😉

De ophaaltijd is ook flexibel: ofwel tussen kwart over 12 en half 1, ofwel tussen half 2 en 2 uur. Tussen die twee tijden in hebben ze dan nog een gezamenlijk fruitmoment – want middageten doe je pas thuis. Ik dacht in mijn onschuld dat het dan wel een goed idee zou zijn om Judith “vroeg” op te halen omdat het anders wel heel intensief zou zijn meteen. De eerste dag werd dat nog wel geaccepteerd, maar inmiddels heeft ze door dat je “kort” of “lang” kunt blijven, en is mij meegedeeld dat “ikke laaaang blijven, lang spelen”. Goed hoor lieverd… geniet ervan 🙂 En een middagslaapje is voor baby’s, dus dat wil ze ook niet meer. Tjah.

Vooraf vond onze dame het toch nog wel fijn dat Boaz ook naar de Kindergarten gaat. Dat voelde toch lekker vertrouwd denk ik. En wij dachten: dan kan hij haar mooi een beetje helpen als ze er niet uitkomt met haar Duits. Nou, dat was dus niet nodig. Vanavond aan tafel vertelde ze trots: “Ikke zelluf heel goed Duist prate. Ikke juf zeggen: “Ich muss pipi machen!”” Dat is inderdaad een heel nuttig zinnetje, dat juffen tot onmiddellijke actie aanspoort. Ook liedjes zingen vindt ze heel leuk, en ze kon me precies uitleggen dat ze een bewegingsliedje hadden geleerd over je ogen, je oren, je neus en je knieën. Stiekem zijn we wel een beetje trots op onze “beetje grote meis”. Het is geweldig om te zien met hoeveel plezier ze naar de “Kiennekaate” gaat en hoe goed ze zich redt met het Duits. Want vergis je niet: “Ikke kanne zelluf Duist praate! En ikke ook Nelelans praate! Echt!”

🙂

Gebaande paden

Als je in een wandelgids zoekt naar een kindvriendelijke wandeling, vind je vooral geasfalteerde paden met weinig hoogteverschil. Nou, dat is voor onze kinderen dus helemaal fout. Op vakantie hebben we dat al vaak gemerkt, en ook zaterdag weer. We hadden een wandelingetje van krap 5 kilometer uitgezocht, een kwartiertje rijden van ons huis. Onderweg waren er een paar informatiebordjes, en er zou een prehistorische grot te zien zijn. Dat klonk goed! En het was inderdaad een fijne wandeling. Maar dan vooral het stuk van de gebaande paden af…

We parkeerden onze auto in een dorpje en gingen van daaruit tussen de wijngaarden door de “berg” op. Prachtig om te zien in dit seizoen, en een goede aanloop naar ons volgende Bijbelmoment over Jezus als de wijnstok… Je ziet de volle trossen hangen, bijna rijp om geoogst te worden. En van een afstandje vormen al die wijngaarden een mooi geometrisch patroon:

En toch was deze wandeling helemaal niks. Het was zwaar. Het was moeilijk. Judith werd er ziek van. Ze hadden honger. Het was te warm. Het waaide te hard (je moest bijna een veertje opsteken om de wind op te merken, maar toch). De jassen waren moeilijk om mee te slepen. En Judith moest gewoon echt gedragen worden, want haar benen waren zooooo moe.

De reden van alle narigheid? De weg was breed en geasfalteerd.

Echt waar. Zodra de weg overging in een bospad, huppelden de drie avontuurs goedsmoeds vooruit. Moeheid, warmte en ziekte waren plotsklaps vergeten, de wereld was prachtig. Het avontuur lonkte, en in hun fantasie zagen ze de beren en Indianen al achter de struiken zitten loeren. Zelfs als Judith een keer struikelde over een grote steen, stond ze gewoon weer op om dapper verder te gaan.

Onze kinderen zijn gewoon niet geschikt voor gebaande paden. Ik denk stiekem dat ze dat geërfd hebben van hun vader. Die klaagt weliswaar niet als ‘ie over asfalt moet lopen, maar de echte grijns verschijnt pas als hij moet zoeken naar het juiste pad, of van steen naar steen moet springen. Dan komt de berggeit in hem tot leven 😉

Écht leuk werd het, toen we op den duur inderdaad de beloofde grotten vonden. Die lagen natuurlijk niet helemaal direct aan het paadje, maar een paar meter hoger. Dus moesten we op handen en voeten naar boven (en weer naar beneden!), zoekend naar de volgende boomwortel om ons aan vast te houden. We moesten Hannah en Boaz af en toe waarschuwen dat ze dit keer niet gezekerd waren met touwen… Broeken onder de blubber, handen vies – de ultieme bos-belevenis 🙂 En als je kleren dan toch al vies zijn, kan je ook gewoon lekker op de bosgrond gaan zitten om een broodje te picknicken.

Rare snuiters, die kinderen van ons. Maar ergens begrijp ik hun voorkeur wel…

De zomer is voorbij!

Er zullen waarschijnlijk nog wel een paar zonnige dagen komen, maar de echte zomer is hier voorbij. Daarvoor zijn drie onmiskenbare aanwijzingen:

  • Onze afstreepkalender is op twee hokjes na vol. Ik had een overzicht gemaakt van de zomer: wanneer begint de schoolvakantie, wanneer gaan we naar Oostenrijk, wanneer komt er bezoek, enzovoorts. Heel pedagogisch verantwoord, en het gaf een beetje duidelijkheid in de planning. Alleen voor Judith helpt het natuurlijk nog niet, die vraagt gewoon een aantal keer per dag: “Gaanne wij nou naartoe dan?” Maar nu is de kalender dus bijna vol. En volgende week begint de school weer (op woensdag) en gaan Boaz én Judith allebei naar de Kindergarten (vanaf dinsdag). Voorbij met alle geluier – aan de slag!
  • Het weer is omgeslagen. Het is gewoon frisjes zonder jas buiten! En het heeft vannacht geregend, dat geeft meteen een snuifje herfst in de lucht. Gisteren zaten we nog een paar uur lang lekker in het zonnetje in de speeltuin, maar ik geloof niet dat dat deze week nog weer lukt. Nou kan ik natuurlijk ook met een jas aan op een bankje zitten, maar dat voelt toch anders. Ik heb maar snel van de gelegenheid gebruik gemaakt en een lekker stoofpotje op het vuur gezet.
  • Johan was gister jarig. Dat is altijd zo ongeveer aan het begin van het nieuwe schooljaar, en past dus prachtig in ons overzichtelijke jaarritme: Hannahs verjaardag valt standaard in de kerstvakantie, Boaz is rond Pasen jarig (dat is hier ook een schoolvakantie), Judith en ik rond de herfstvakantie en Johan dus aan het eind van de zomervakantie.

Die verjaardag van Johan was trouwens niet heel uitgebreid dit jaar. Familie was nog pas hier geweest of samen met ons op vakantie, dus er kwam niemand vanuit Nederland. Op z’n werk trakteren vond meneer ook niet nodig, en verder iemand uitnodigen… daar heeft hij al helemaal niet aan gedacht. Eigenlijk past dit prima bij Johan: hij vindt het super gezellig als mensen langs komen en liefst dan ook meteen een paar dagen blijven, maar die “verplichte nummers” als massale verjaardagen en recepties vindt hij helemaal niks. Dus zat hij gisteravond volmaakt tevreden op de bank: hij was blij met z’n cadeautjes, had thuis gewerkt en tijd genomen om ’s middags een tijd lang in het zonnetje in de speeltuin te zitten, én hij had de kans gehad om z’n nieuwe cd te beluisteren en een beginnetje te maken in z’n nieuwe boek. Wat wil een mens nog meer… Nou, Johan dus niet zoveel 🙂

De kool en de geit sparen

Vandaag is er gepuzzeld. Veel gepuzzeld. Een boer heeft in het bos een wolf gevangen. Die kan hij mooi verkopen op de markt in de stad. En als hij toch naar de stad gaat, kan hij eigenlijk ook meteen een van zijn geiten meenemen. “En waarom ook niet een grote zak vol bloemkolen?” denkt de boer bij zichzelf. Zo gezegd, zo gedaan. De boer gaat op pad.

Als hij bijna bij de stad is komt hij bij een rivier, waar een kleine roeiboot aan de oever ligt. Tot zijn schrik merkt de boer dat hij niet al zijn bagage in het bootje naar de overkant kan vervoeren. Hij kan slechts één ding tegelijk naar de overkant varen. Ofwel de wolf, ofwel de geit, of wel de kolen.

Tegelijkertijd bedenkt de boer dat hij de wolf en de geit niet alleen kan laten, want anders is er geen geit meer over. Eveneens kan de geit niet alleen gelaten worden met de bloemkolen. Anders is het: einde bloemkool. Kan de boer al zijn spullen naar de overkant brengen, en de kool en de geit sparen?

Onderaan deze website wordt een oplossing gegeven. Maar ik moedig u aan om eerst zelf even naar een oplossing te zoeken.

Voor de grap heb ik dit puzzeltje uitgelegd aan de computer. Ik gebruik voor mijn werk op de universiteit soms een programma dat wiskundige bewijzen tot in alle detail kan controleren. Dit programma kunt u ook via internet gebruiken, maar het is helaas wel wat trager dan wanneer het als geïnstalleerd programma wordt gebruikt. Als u dit wilt uitproberen dan moet u

  • Naar tinyurl.com/wolf-geit-kool gaan.
  • Ruim 30 seconden wachten.
  • Bovenaan het scherm staat een oranje balk. Als die balk groen wordt, dan is het programma klaar voor gebruik.
  • U ziet een website met twee schermen. In het linkerscherm staat heel veel onleesbare tekst. U moet helemaal naar beneden scrollen.
  • Als u naar beneden hebt gescrolled legt de tekst uit waar u uw cursor moet plaatsen. In het rechterscherm wordt de voortgang van de puzzel getoond. (Normaliter staat hier de voortgang van een bewijs.)
  • U kunt met de commandos “vervoer wolf”, “vervoer geit”, “vervoer kool” en “vervoer niets” vertellen wat de boer moet doen. Deze commandos moeten worden gescheiden door kommas, en mogen op verschillende regels staan.
  • Zie verder ook de uitleg in de groene tekst.

Als u de oplossing wilt zien die ik met Hannah, Boaz en Judith in elkaar heb geknutseld, dan moet u verder naar beneden scrollen.


Hier volgt onze oplossing.

“Waarom staan die stenen daar?”

Als we met onze kinderen op pad zijn in het bos, bij een rivier of in de bergen, moet er altijd van alles verzameld worden. Vogelveren, stoere takken, kastanjes en eikels, en ook stenen. De meeste verzamelde bijzonderheden verdwijnen na een poosje geruisloos uit ons huis, om te voorkomen dat we ondergesneeuwd raken. Maar de stenen hadden inmiddels een aardig hoopje gevormd op ons terras. Tijd om er weer eens iets mee te doen, nadat we er al ’s een aantal hebben beschilderd en andere gediend hebben om onze speeltent op z’n plek te houden tijdens een bijna-storm.

Zondag hielden we een Bijbelmoment met onze stenen, gekoppeld aan het verhaal uit Jozua 4 waar de Israëlieten de Jordaan oversteken en als herinnering aan Gods wonderen een gedenkteken oprichten met twaalf grote stenen. Hanna Lam heeft er een treffend liedje over geschreven: “Waarom staan die stenen daar? (…) Het is een verhaal, luister ik vertel het je allemaal!”

Ook voor ons als gezin is het natuurlijk goed om af en toe weer terug te denken aan momenten waarop we bijzonder Gods hulp hebben ervaren, of dingen waarin Hij ons bijzonder gezegend heeft. Dus pakten we onze stenen erbij en schreven er verschillende dingen op: De Heere gaf ons een fijn huis, school en kerk in Bad Krozingen. Dat was bepaald niet vanzelfsprekend, en dus een goede reden tot dankbaarheid. We zijn allemaal gezond en kunnen ons (school)werk doen. Wat verder terug: we kregen drie gezonde kinderen. Bij de doop beloofde God dat Hij ook hun God en Vader wil zijn. Nog verder terug, alweer 12,5 jaar: de Heere bracht een jongen en een meisje met een nogal verschillende levensgeschiedenis bij elkaar in een vwo-klas in Kampen… Hannah snapte ‘m meteen, dat waren papa en mama 😉 Voor haar is het natuurlijk volkomen logisch dat Johan en ik “bij elkaar horen”, maar als je bedenkt hoe verschillend ons leventje tot ons 15e was, is het best speciaal dat we elkaar tegengekomen zijn. Ik woonde vanaf mijn geboorte op hetzelfde adres, ging in hetzelfde dorp naar school en kerk, had al mijn familie daar… Johan had alleen al 6 basisscholen gehad, in verschillende werelddelen gewoond, had helemaal geen familie in Overijssel wonen – maar kwam uiteindelijk toch op de Pieter Zandt terecht, net als ik. Gelukkig maar 🙂 We concludeerden samen dat we nog geen dag spijt hebben gehad van onze relatie, dus ook dat was een steentje waard.

Ik vond het mooi om te horen dat er ook andere dingen genoemd werden: “Dat de Heere bij ons is”. “Dat iedereen die in God gelooft, eeuwig leven krijgt”. “Dat de Heere goed is”. Ook dat zijn stenen die als een onmisbaar fundament onder ons leven liggen, en die het waard zijn om steeds opnieuw bekeken te worden zodat we ervoor kunnen danken. Aan ons als ouders de taak om erover te vertellen, zodat ook onze kinderen vertrouwd raken met Gods wonderen en Zijn karakter leren kennen.

Weer helemaal thuis

We hebben onze twee weken vakantie er helaas weer op zitten, en zijn vanmorgen vies vroeg richting huis vertrokken. Het doel daarvan was om files te vermijden, en dat is gelukt! Vóór koffietijd ’s morgens waren we thuis, en dus moest er als eerste een heerlijk kopje chocolademelk gemaakt worden.

Maar toch was het nog niet als vanouds. Hannah keek eens keurend rond: “Het ruikt hier een beetje raar. Net als toen we gingen verhuizen”. Snel de ramen open dus. Maar nog steeds stonden de planten niet op hun normale plek, en alles was zo… leeg! Zo… netjes! Dat voelde kennelijk kaal en ongezellig. Gelukkig hadden we de dag nog voor ons, en was er genoeg tijd om alle tassen in de gang te parkeren, de was in grote hopen te sorteren, de meegebrachte boodschappen op tafel uit te stallen en één en ander aan speelgoed voor de dag te trekken. Toen ik ’s avonds ook nog had gekookt, constateerden we tevreden: “Dit is weer helemaal de keuken van mama”.

Om dat te begrijpen moet je de verhaaltjescd’s van Sofie gehoord hebben. Die zijn echt hilarisch herkenbaar – ze zijn bedoeld voor kinderen maar Johan en ik vinden ze ook leuk 🙂 Op één verhaaltje gaat de moeder van Sofie naar boven om de kamer van dochterlief op te ruimen. Haar spullen liggen overal in het rond, oude handdoeken vormen een geliefd hutje en een vies stokje blijkt het favoriete speelgoed van de knuffel dat écht niet weggegooid mag worden. Je moet waarschijnlijk zelf een kind in die leeftijd hebben om het probleem te snappen 😉 Toch zet de moeder door, en even later is alles weer netjes! Sofie vindt het maar wat handig dat ze nu al haar spullen zo makkelijk kan vinden. Ze gaat meteen aan de slag om voor de knuffel een ziekenhuisbedje te maken, papieren pillen te knippen [lees: de hele kamer overhoop te halen] en dan constateert ze tevreden: “Het is weer helemaal de kamer van Sofie!”.

Nou, dat gevoel heerst hier dus ook. Het aanrecht is weer een zooitje, er staan stukken knikkerbaan in verschillende stadia op de vloer, de laatste doos met knutselspulletjes en boeken moet nog worden opgeruimd, het wasrek op het terras hangt vol… We zijn weer helemaal thuis 🙂

Maar we hadden natuurlijk ook nog niet verteld hoe de vakantie was. Nou, het was heerlijk. We hebben twee weken lang in een groot huis gebivakkeerd waar af en aan mijn familie langskwam – en wij bleven als echte feestneuzen natuurlijk de volledige tijd 🙂 We hebben gewandeld, speeltuintjes bezocht, we zijn met kabelbanen de berg op geweest, de sportievelingen hebben rotsen beklommen… alles wat je in de Alpen kunt doen en thuis niet [of ook wel, maar op vakantie is het toch anders]. En het voordeel van zo’n familievakantie is natuurlijk dat je ook veel tijd hebt om spelletjes te doen, praatjes te maken en gewoon samen op te trekken. We zullen er nog wel een keer over uitwijden denk ik, maar voor nu alvast een paar foto’s:

Vader en dochter aan het klimmen
Dat kleine mannetje is Boaz 🙂
Vasthouden meisje! Ze is heel beneden gekomen 🙂

De sprong van Vieta

Zoals aangekondigd zit ik zonder wifi bovenop een Alpentop. En toch een blogpost. Omdat ik er eentje in de wachtrij heb gezet. Houd u vast. Dit wordt een lange zit. Het is tenslotte vakantie.

Ieder jaar wordt de internationale wiskunde olympiade georganiseerd, waar middelbare scholieren door het oplossen van wiskundeproblemen kunnen strijden om eeuwige roem (-; De wedstrijd duurt twee dagen. Beide dagen krijgen de deelnemers 3 puzzels voorgeschoteld, en hebben ze vier-en-een-half uur de tijd om die puzzels op te lossen. Een perfecte score is uitzonderlijk, en erg zeldzaam.

Een puzzel

Vandaag wil ik jullie iets vertellen over de zesde opgave van de wedstrijd van 1988. De zesde opgave is altijd de lastigste opgave, en de opgave die we nu bekijken is zelfs berucht om zijn moeilijkheid. (Ik geef meteen toe dat ik de opgave niet zelf heb opgelost zonder te spieken.) Verscheidene professionele wiskundigen kregen de opgave voorgeschoteld, maar konden deze harde noot niet binnen 6 uur kraken.

De opgave: Laat $a$ en $b$ twee gehele getallen zijn, met $a \ge 0$ en $b \ge 0$. Stel dat $(a \cdot b + 1)$ een deler is van $a^2 + b^2$. Dan is $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ een kwadraat.

Met andere woorden: Als de breuk $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$ gelijk is aan een of ander geheel getal $k$, dan bestaat er een geheel getal $d$ zodat $k = d^2$.

Als u deze puzzel wilt oplossen zonder verdere tips, dan moet u nu stoppen met lezen.


Het plaatje

Om een beetje gevoel voor het probleem te krijgen, toon ik u nu de grafiek van $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1}$.

Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
Plot van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd met Gnuplot]

Een eerste opmerking: In de opgave kijken we naar gehele getallen $a$ en $b$. In deze grafiek worden de waarden voor alle $a$ en $b$ op de getallenlijn getoond. Anders zouden we alleen een losse verzameling punten zien. Vanaf nu kijken we alleen nog maar naar punten $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.

De grafiek is dus enorm stijl dicht bij de assen, en heel erg vlak verder bij de assen vandaan. Er is ook een bepaalde symmetrie. Dat is niet toevallig, want de formule is ook symmetrisch in $a$ en $b$. Dus de waarde bij $(a,b)$ is gelijk aan de waarde bij $(b,a)$. Vanwege deze symmetrie mogen we in de opgave aannemen dat $a \le b$ geldt. Zo niet: dan verwisselen we $a$ en $b$ gewoon.

De gekleurde lijnen in het vlak op de bodem van de afbeelding zijn zogeheten contourlijnen. De rode lijn bestaat precies uit alle punten $(a,b)$ waarvoor $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = 4$ geldt. Zoals te zien in het plaatje bestaat iedere contourlijn uit twee losse stukken. Een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a < b$ geldt, en een stuk met punten $(a,b)$ waarvoor $a > b$ geldt.

Dat klopt niet helemaal. Er zijn natuurlijk ook nog de punten $(a,b)$ waarvoor $a = b$ geldt. Dat is de diagonaal in het vlak. Laten we eens kijken wat er bij die punten gebeurt. Dan geldt $\frac{a^2 + a^2}{a \cdot a + 1} = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = k$. Dus $2a^2 = k \cdot (a^2 + 1) = k \cdot a^2 + k$. De waarden in de grafiek zijn positief, dus $k$ is positief. De enige manier waarop deze gelijkheid kan gelden is als $k = 1$. En… $1$ is een kwadraat. Dus voor de punten $(a,a)$ op de diagonaal is de opgave waar.

Aan de slag

Goed. Dan kunnen we nu terug gaan naar de punten $(a,b)$ met $a \ne b$, die dus niet op de diagonaal liggen. De opgave zegt dat als $a$ en $b$ gehele getallen zijn, en op de contourlijn van waarde $k$ liggen, dan is $k$ een kwadraat. Met andere woorden: Als $k$ geen kwadraat is, dan mag de contourlijn van $k$ dus geen enkel “gridpunt” bevatten. (Met een “gridpunt” bedoel ik een punt $(a,b)$ waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn.)

Laten we dat dus maar proberen te doen. Neem een getal $k$, en bekijk de contourlijn van $k$. Zoals gezegd bestaat die uit twee delen. Het deel $H$ (hoog) van punten $(a,b)$ met $a < b$, en het deel $L$ (laag) van punten $(a,b)$ met $a > b$.

Twee gevallen

Nu gaan we een slimme truc toepassen. Dat gaat als volgt. Stel dat er een gridpunt $(a,b)$ bestaat in $H$, dus met $a < b$. Nu moeten we twee gevallen bekijken. Het geval $a = 0$, en het geval $a > 0$. Voordat we die gevallen bekijken, leg ik eerst uit wat de strategie is. In het geval $a = 0$ laten we zien dat $k$ een kwadraat is. En dus zijn we klaar. De opgave is voor dat geval bewezen.

In het andere geval, met $a > 0$ gaan we een nieuw gridpunt bouwen, zeg $(c,d)$, met de volgende eigenschappen: het punt $(c,d)$ ligt ook op $H$, en $d < b$. We hebben dan dus een nieuw gridpunt op $H$ met een kleinere $y$-coördinaat dan het oude punt. Nu kunnen we voor dit nieuwe punt weer de twee gevallen bekijken: ofwel $c = 0$, ofwel $c > 0$. Als $c = 0$ dan volgt opnieuw dat $k$ een kwadraat is. Als $c > 0$, dan kunnen we een nieuw gridpunt bouwen met een lagere $y$-coördinaat en… het proces herhaalt zich.

Maar het proces moet wel een keer stoppen! Want voor de punten $(x,y)$ op $H$ geldt $x < y$. En we vinden telkens een nieuw punt met een lagere $y$-coördinaat. Dus de $x$-coördinaat wordt ook steeds kleiner. Daarom moeten we na eindig veel stappen een keer een gridpunt vinden met $x = 0$. Zoals beloofd, is de opgave dan bewezen.

Terug naar ons oorspronkelijke punt $(a,b)$. Nu moeten we dus nog twee dingen doen: als $a = 0$ moeten we laten zien dat $k$ een kwadraat is, en als $a > 0$ dan moeten we een nieuw punt op $H$ maken met een kleinere $y$-coördinaat.

Stel dat $a = 0$. Dan zegt onze vergelijking $\frac{0^2 + b^2}{0\cdot b + 1} = k$. Oftewel $b^2 = k$. En, inderdaad. We zien dat $k$ een kwadraat is.

De sleutelsprong

Op naar het volgende geval. Stel dat $a > 0$. We moeten een gridpunt $(c,d)$ maken dat op $H$ ligt, dus $\frac{c^2 + d^2}{c \cdot d + 1} = k$ en $c < d$. Daarnaast willen we ook dat de $y$-coördinaat kleiner wordt, dus $d < b$.

Omdat ons punt $(a,b)$ op $H$ ligt, geldt $\frac{a^2 + b^2}{a \cdot b + 1} = k$. Dat kunnen we omschrijven naar $a^2 + b^2 = k \cdot (a \cdot b + 1)$. Die vergelijking kunnen we nog weer een beetje verder omschrijven naar $$b^2 – (a \cdot k) \cdot b + (a^2 – 1). \qquad (\star)$$

We zien dus dat $b$ een nulpunt is van de parabool $f(X) = X^2 – (a \cdot k) \cdot X + (a^2 – k)$. Kies nu het punt $c = a \cdot k – b$. Met een klein beetje rekenwerk zien we dat $g(X) = (X – b) \cdot (X – c) = X^2 – (b + c) \cdot X + (b \cdot c)$. Maar $b + c = a \cdot k$, en $$b \cdot c = b \cdot (a \cdot k – b) = a \cdot b \cdot k – b^2.$$ Over deze vergelijking kunnen we nog iets meer zeggen. Want we weten hebben ook vergelijking $(\star)$. Door deze twee vergelijkingen te combineren, vinden we $b \cdot c = a^2 – k$.

Dat is bijzonder! Dat betekent dat $f(X) = g(X)$, en dus dat $c$ ook een nulpunt is van de parabool $f(X)$. De twee formules $a \cdot k = b + c$ en $a^2 – k = b \cdot c$ staan bekend als de formules van Vieta. Dat is de Vieta uit de titel van deze blogpost. En nu komt de sprong van Vieta.

Omdat $c$ een nulpunt is van de parabool $f(X)$, weten we dat $$c^2 – (a \cdot k) \cdot c + (a^2 – k) = 0.$$ Dat kunnen we weer omschrijven naar $a^2 + c^2 = k \cdot (a \cdot c + 1)$, en dus naar $\frac{a^2 + c^2}{a \cdot c + 1} = k$. Met andere woorden: $(a,c)$ is een nieuw punt op de contourlijn van $k$! We zijn met de formules van Vieta naar een ander punt gesprongen.

Zoals gezegd bestaat de contourlijn van $k$ uit twee delen. Het deel $H$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x < y$ geldt. En het deel $L$, met punten $(x,y)$ waarvoor $x > y$ geldt. Laten we nog een keer kijken naar een plaatje van de contourlijnen.

De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1)
De projectie van de contourlijnen van (x^2 + y^2)/(x*y + 1). [Gegenereerd door Gnuplot.]

In dit plaatje zijn de contourlijnen geprojecteerd op het vlak. We kunnen hier een interessante observatie doen. Als we een contourlijn kiezen (dus een gekleurde lijn in het plaatje), dan zijn er voor iedere $x$-coördinaat maar twee mogelijke punten op de contourlijn. Een punt onder de diagonaal, en een punt boven de diagonaal. (Dit is natuurlijk geen bewijs, maar deze blogpost is lang genoeg. In het bijzonder is het niet duidelijk dat het nieuwe punt boven de $x$-as ligt. Een puzzeltje voor de enthousiaste lezer…)

Het punt $(a,c)$ ligt dus op de contourlijn van $k$. En het heeft dezelfde $x$-coördinaat als het punt $(a,b)$. Dus weten we dat $(a,c)$ onder de diagonaal ligt. Met andere woorden, $a > c$, en dus ligt $(a,c)$ in $L$.

Nu gebruiken we de spiegelsymmetrie die we helemaal aan het begin hebben opgemerkt. Als $(a,c)$ op de contourlijn van $k$ ligt, dan ook $(c,a)$. Omdat we spiegelen in de diagonaal, ligt $(c,a)$ in $H$. Inderdaad: $c < a$.

En nu zijn we klaar. We moesten een nieuw punt $(c,d)$ maken dat in $H$ ligt en een kleinere $y$-coördinaat heeft dan $(a,b)$, dus $d < b$. Welnu, $(c,a)$ ligt in $H$, en heeft $y$-coördinaat $a$. En zoals gezegd geldt $a < b$, omdat het oorspronkelijke punt $(a,b)$ ook in $H$ ligt.

Einde bewijs. QED.

Als u tot hier hebt door gelezen: mijn complimenten! En een hele fijne vakantie toegewenst.

Vakantie

“Op vakantie gaan betekent: je dagelijkse bezigheden uitvoeren in primitievere omstandigheden dan je normaal gewend bent”.

Tjah, daar sta je dan met een tas kleding in de hand, slalommend tussen de zwemspullen en de spelletjes door op weg naar de auto. Is dat echt zo? Halen we ons met het hele vakantie-gebeuren eigenlijk vooral een hoop ongemak op de hals? Feitelijk wel natuurlijk: alles moet ingepakt worden, de was moet nog even worden weggewerkt terwijl je de te wassen kleren nog aan hebt, het huis moet netjes “voor als de buurvrouw de plantjes komt gieten”, we staan misschien zelfs extra vroeg op… omdat het vakantie is?! En dan moet ook nog de koelkast precies leeggegeten worden, moeten we een eind in de auto zitten, laten we het grootste deel van ons speelgoed thuis, hebben we op vakantie geen internet 🙂 … Tjonge jonge.

En toch hebben we er zin in. Dan moet zo’n vakantie toch wel iets heel bijzonders en verfrissends zijn. Ik denk dat daar vier dingen bij meespelen:

  1. In een andere omgeving zijn, is leuk en verfrissend. We verheugen ons op de bergen, op het verkennen van “ons” dorpje, op het ontdekken van leuke picknickplekjes en het zien van watervallen. “Er even uit zijn” is niet voor niets een populair begrip.
  2. In ons geval: samen zijn met familie die we anders niet zo vaak spreken. Ons kleine nichtje zien, spelletjes doen met broers en zussen, op avontuur met opa… Kortom alle kleine dingetjes die we best wel missen nu we in Duitsland wonen. En we hopen natuurlijk op oppas zodat Johan en ik met z’n tweetjes een avondwandeling kunnen maken of ergens ongestoord een stukje appeltaart kunnen eten!
  3. Afstand nemen van ons werk. Goed, niet van 80% van mijn werk, want de kinderen gaan natuurlijk mee en we moeten daar ook eten. Maar wel van de dagelijkse sleur en vooral voor Johan ook van wiskunde. Zijn hoofd uitzetten zal wel niet helemaal gaan, maar als z’n laptop thuisblijft en hij niet op internet kan, scheelt dat toch al een heel stuk. Ik heb goede hoop dat dat uiteindelijk meer ontspant dan thuis op de bank zitten. We komen vast helemaal relaxed terug.
  4. Tijd hebben voor leuke dingen. Lezen, wandelen, spelletjes doen, enzovoorts. Als je normaalgesproken 40 uur per week werkt en ook nog heen en weer reist, zou je in de vakantie toch aan andere dingen toe moeten komen. Aangezien Johan permanent een grote stapel boeken heeft liggen die smeken om gelezen te worden, komt dat bijzonder goed uit. Nu nog hopen dat onze kinderen zich ook vermaken, die hebben op vakantie natuurlijk niet al hun speelgoed bij zich. En we zitten dit keer niet op een camping met drie speeltuinen en een zwembad. Maar we hebben wel een animatieteam 😉

Ik zei het al: we hebben daar geen internet. Dus we kunnen ook geen blogs plaatsen. Dat betekent dus twee weken stilte hier! We zullen achteraf verslag doen hoe ontspannend en inspirerend onze vakantie was. Tot later!